Ordre des sous groupes
Bonjour,
Mon problème est le suivant : Si on a un groupe $G$ et deux éléments $a$ et $b$ de ce groupe d'ordres finis $\mathrm{o}(a)$ et $\mathrm{o}(b)$ respectifs, alors quel est l'ordre du sous-groupe $<a,\,b>\subset{G}$ engendré par ces deux éléments ?
Merci.
[Edit : Peux-tu faire un effort de rédaction, s'il te plait ?. (T. P)]
Mon problème est le suivant : Si on a un groupe $G$ et deux éléments $a$ et $b$ de ce groupe d'ordres finis $\mathrm{o}(a)$ et $\mathrm{o}(b)$ respectifs, alors quel est l'ordre du sous-groupe $<a,\,b>\subset{G}$ engendré par ces deux éléments ?
Merci.
[Edit : Peux-tu faire un effort de rédaction, s'il te plait ?. (T. P)]
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Réponses
Les éléments $a$, $b\in{G}$ commutent-ils à défaut d'avoir $G$ commutatif ?
Cordialement,
Thierry
S'ils commutent, le sous-groupe qu'ils engendrent est commutatif ...
($n$ un entier)
Ce qui est vrai c'est qu'il existe un élément d'ordre $m=\omega (a)\vee \omega (b)$. Ceci permet de démontrer que dans un groupe abélien fini l'ordre de tout élément divise l'ordre maximum.
Si $a^n=e$ alors $(a^n)^m=e$
$e$ est l'élément neutre du groupe.
- divise le produit des ordres de $a$ et $b$,
- est multiple des ordres de $a$ et $b$.
Et tu peux montrer par des exemples que l'ordre du sous-groupe peut être n'importe quel entier qui est multiple de l'ordre de $a$ et de l'ordre de $b$ et qui divise le produit de ces ordres.