Système à deux équations

Théorème du point fixe.
Choisir la bonne norme...

Edit : tiré du "Petit Guide du Calcul Différentiel" de Rouvière.
De mémoire c'était la somme dans le sinus et la différence dans le cosinus.

Bonsoir Gebrane
Méthode bourrin. Tu poses $X=x+y$ et $Y=x-y$.
En additionnant et soustrayant tes deux équations, tu obtiens $\begin{cases}
2X&=\cos X+\sin Y\\
2Y&=\cos X-\sin Y
\end{cases} $
En re-additionnant et re-soustrayant tes deux équations, tu obtiens $\begin{cases}
X+Y&=\cos X\\
X-Y&=\sin Y
\end{cases} $
En tirant $Y$ de la première équation et en remplaçant dans la seconde, tu obtiens
$2X-\cos X=\sin(\cos X-X)$
Petite étude de la fonction $f:t\mapsto 2t-\cos t +\sin(t-\cos t)$, tu montres que la dérivée $f'$ est toujours $\geq 1$, donc $f$ est strictement monotone.
Comme $f(0)<0$ et $f(\pi) >0$ tu as unicité de solution, d'où un unique couple $(X,Y)$ et un unique couple $(x,y)$ solution de ton système.
Alain