Ordre de $(xy)^{pq}$

flipflop, j'ai pas réfléchis sur ton exemple, mais j'essaierai tout à l'heure, je reviendrai dessus.


J'avais écrit ce qui est ci-dessous, mais maintenant avec ce que Chaurien a marqué, je ne sais plus si c'est pertinent.
Justement Chaurien, quel est le sous-groupe engendré par x et y ?

Est-ce ({0, 10, 20,.... , 230}, +)




D'accord G n'est pas fini.

Si je prends le plus simplement possible (G,.) = (Z, +)

Alors x=3 et y=7 appartiennent à G
Et p=8 et q=3 sont bien premiers entre eux.

D'abord avec ce que j'ai pris ci-dessus, x et y engendrent bien les ensembles suivants, n'est-ce pas ?
Gr(x) = {0,3,6,9,12,15,18,21}
Gr(y) = {0,7,14}

Pourquoi $(xy)^{pq} = e$ ?

Le groupe G étant additif j'imagine qu'il faut comprendre ce qui est ci-dessus ainsi : (pq)*(x+y)
(3+7) = 10
240 vaut à la fois 0 dans Gr(x) et dans Gr(y) ? non ?

Avec tout ce que vous m'avez dit je commence à mieux comprendre. En particulier ce qui me mettait complètement dedans c'est que je confondais l'ordre d'un élément du groupe avec le cardinal du groupe.

Bref j'en suis là dans mes exemples concrets pour mieux voir ce qui se passe :
Ca me semble être correcte:

1) Pour un groupe multiplicatif :

Soit (G,.) = $U_{6}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ : k=0 ,... , 5}, x)
o($e^{i.0}$=1) = 1
o($e^{i\frac{\pi}{3}}$) = 6
o($e^{i\frac{2\pi}{3}}$) = 3
o($e^{i\pi}$) = 2
o($e^{i\frac{4\pi}{3}}$) = 3
o($e^{i\frac{5\pi}{3}}$) = 6

En prenant x = $e^{i\frac{4\pi}{3}}$ d'ordre p = 3, et y = $e^{i\pi}$ d'ordre q = 2

Alors xy = $e^{i\frac{4\pi}{3}}.e^{i\pi}$ = $e^{i(\frac{4\pi}{3}+{\pi})}$ = $e^{i\frac{7\pi}{3}}$ = $e^{i\frac{\pi}{3}}$ qui est d'ordre 6 (ci-dessus) tout comme pq = 3*2 = 6 Donc ok pour ce groupe.

2) Pour un groupe additif :

Soit (G,.) = (${\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}}$, +) = ({0,1,2,3,4,5}, +)
o(0) = 1
o(1) = 6
o(2) = 3
o(3) = 2
o(4) = 3
o(5) = 6

En prenant x = 4 d'ordre p = 3, et y = 3 d'ordre q = 2

Alors x+y (car noté additivement) x+y = 7(mod 6) = 1 qui est d'ordre 6 (comme ci-dessus) tout comme pq = 3*2 = 6.

En aparté (Fin de partie) :
Il me semble bien, vu ce dernier test que $xy^{pq}$ en notation additive soit $(pq)(x+y)$ (ou bien je loupe encore quelque chose.)

Maintenant j'ai deux autres questions :
- J'ai réfléchi et je ne vois pas d'exemple pour un groupe infini, comment avoir des éléments d'ordres différents ?
- Peut-on créer (au lieu d'un groupe monogène) un groupe engendré par 2 gènes et quel serait son aspect si je prenais les chiffres 2 et 3 comme gènes ?

La vache je refais la même erreur, à propos de la cardinalité de l'ensemble !! :-X

flipflop, ah oui c'est vrai, c'est un groupe infini. ok, mais comment déterminer l'ordre d'un de ses éléments ?
J'imagine que pour des angles modulo ($2\pi/n$) pour (n Naturel) c'est facile mais pour des angles qui ne sont pas modulo ($2\pi/n$) j'imagine qu'ils sont d'ordres infinis n'est-ce pas ?

Je vais réfléchir à ce groupe.
@+

Je regarde ton dernier exemple sur les groupes infinis.

Peut-être que je dis une bêtise mais si je prends $q1\in{\mathbb{Q}}$ tel que q1 = 13/17
L'ordre de cet élément x = $e^{i(2\pi.\frac{13}{17})}$ est-il bien 17, pourvu que numérateur et dénominateur soient premiers entre eux ?

Bien vu, très claire ton explication.
Je comprends tout ça beaucoup mieux.

Dernière chose, à partir des 2 groupes finis $U_{6}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ : k=0 ,... , 5}, x) et (${\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}}$, +) on peut faire une bijection.

Il me semble du coup qu'il soit possible d'effectuer une bijection du groupe $\mathbb{U}$ = ($\{ z \in \C, \, |z|=1 \}$, x) vers un autre groupe infini mais je ne sais pas trop comment l'écrire.

Ceci existe-t-il : $({ \mathbb{Z}^{2}/\mathbb{Q}}, +)$ ?


En tout cas cette simple proposition de 2 lignes me parait extrêmement vaste en y regardant de plus près. Je trouve juste dommage que tous les livres donnent un cadre fortement théorique mais peu exemples concrets pour vraiment voir ce qui s'y cache.

J'ai pas compris le $\mathbb R/\mathbb Z$. Aurais-tu voulu dire $\mathbb R/\mathbb C$ ?