Ordre de $(xy)^{pq}$
Bonjour
Je bute sur une proposition dont je ne saisis pas toutes les subtilités, pouvez-vous m'éclairer ?
Proposition 16 :
Soit (G,.) un groupe et soient x et y des éléments de G tels que xy=yx. Si x et y sont des éléments d'ordres finis respectifs p et q, et si p et q sont premiers entre eux, alors xy est un élément de G d'ordre pq.
Du coup j'ai voulu tester voici ce que j'en comprends :
On sait que :
$x^p = e$
$y^q = e$
On veux monter que $(xy)^{pq} = e$
$(xy)^{pq} = x^{pq}.y^{pq} = (x^{p})^{q}.(y^{q})^{p}$
$(xy)^{pq} = (e)^{q}.(e)^{p} = e.e = e$
Mais ce que je ne vois pas c'est puisque $x$ et $y$ sont d'ordres finis, est-ce que $G$ est un groupe fini ou ce n'est pas une obligation ? (Si oui, quel est son ordre ?)
Là où je suis vraiment perdu c'est quand j'essaie avec des valeurs numériques.
J'ai par exemple essayé d'utiliser le groupe $(G,.) = (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +)$, et pris
x=3 p=8
y=7 q=3
Je n'arrive à rien.
Merci.
Je bute sur une proposition dont je ne saisis pas toutes les subtilités, pouvez-vous m'éclairer ?
Proposition 16 :
Soit (G,.) un groupe et soient x et y des éléments de G tels que xy=yx. Si x et y sont des éléments d'ordres finis respectifs p et q, et si p et q sont premiers entre eux, alors xy est un élément de G d'ordre pq.
Du coup j'ai voulu tester voici ce que j'en comprends :
On sait que :
$x^p = e$
$y^q = e$
On veux monter que $(xy)^{pq} = e$
$(xy)^{pq} = x^{pq}.y^{pq} = (x^{p})^{q}.(y^{q})^{p}$
$(xy)^{pq} = (e)^{q}.(e)^{p} = e.e = e$
Mais ce que je ne vois pas c'est puisque $x$ et $y$ sont d'ordres finis, est-ce que $G$ est un groupe fini ou ce n'est pas une obligation ? (Si oui, quel est son ordre ?)
Là où je suis vraiment perdu c'est quand j'essaie avec des valeurs numériques.
J'ai par exemple essayé d'utiliser le groupe $(G,.) = (\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}, +)$, et pris
x=3 p=8
y=7 q=3
Je n'arrive à rien.
Merci.
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Réponses
Non $G$ n'est pas forcément fini.
Sinon, je n'ai pas compris ton exemple : dans $(\Z/ 11\Z , +)$, on a $8*3=24=2 \ne 0$ donc l'ordre de $3$ n'est pas $8$ ...
Ensuite ta proposition te dit que $(xy)^{pq}=e$ et $pq$ est le plus petit exposant tel que cela se produise.
Démonstration.
On a : $(xy)^{pq}=x^{pq}y^{pq}=e$, ce qui prouve que l'élément $xy$ est d'ordre fini et que cet ordre $\omega $ est un diviseur de $pq$.
De plus : $e=(xy)^{p\omega }=x^{p\omega }y^{p\omega }=y^{p\omega}$, ce qui prouve que $q$ divise $p \omega $, et comme $q$ est premier avec $p$, il s'ensuit que $q$ divise $\omega $.
On prouve de même que $p$ divise $\omega $.
Comme $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on en déduit : $pq \mid \omega $, et enfin : $\omega =pq$.
En fait tout se passe dans le sous-groupe engendré par $x$ et $y$, qui est d'ordre fini. L'ordre du groupe « ambiant » $G$ n'a aucune importance, il n'est même pas forcément fini.
Bonne journée.
Bonne Saint-Patrick, figure éminente de notre Europe.
Fr. Ch.
Tu peux prendre l'exemple suivant : $G := (\Z/15\Z, +)$.
L'ordre de $10 =$ ???.
L'ordre de $3 = $ ???
L'ordre de $10+3 = $ ???
J'avais écrit ce qui est ci-dessous, mais maintenant avec ce que Chaurien a marqué, je ne sais plus si c'est pertinent.
Justement Chaurien, quel est le sous-groupe engendré par x et y ?
Est-ce ({0, 10, 20,.... , 230}, +)
D'accord G n'est pas fini.
Si je prends le plus simplement possible (G,.) = (Z, +)
Alors x=3 et y=7 appartiennent à G
Et p=8 et q=3 sont bien premiers entre eux.
D'abord avec ce que j'ai pris ci-dessus, x et y engendrent bien les ensembles suivants, n'est-ce pas ?
Gr(x) = {0,3,6,9,12,15,18,21}
Gr(y) = {0,7,14}
Pourquoi $(xy)^{pq} = e$ ?
Le groupe G étant additif j'imagine qu'il faut comprendre ce qui est ci-dessus ainsi : (pq)*(x+y)
(3+7) = 10
240 vaut à la fois 0 dans Gr(x) et dans Gr(y) ? non ?
Les éléments, hormis l'élément neutre $0$, sont tous d'ordre $11$ (puisque c'est un nombre premier, il n'a que deux diviseurs entiers naturels positifs distincts)
(Théorème de Lagrange oblige !)
Si tu veux une illustration concrète prends plutôt le groupe $\left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+\right)$.
Il a au moins un élément d'ordre $2$ et un élément d'ordre $3$.
Dans le résultat que tu indiques il faut vérifier 4 choses (que tu ne vérifies pas dans l'exemple que tu donnes plus haut):
1) ab=ba
2) a est d'ordre p.
3) b est d'ordre q
4) p et q sont premiers entre eux.
Il faut le comprendre comme:
$(p+q).(x+y)$
$p,q$ sont des entiers naturels, $x,y$ des éléments du groupe $G$ abélien et:
$n.x:=x+x+...+x$ "somme" de $n$ fois $x$.
Et bien sûr, on a $(p+q).x=p.x+q.x$
Bref j'en suis là dans mes exemples concrets pour mieux voir ce qui se passe :
Ca me semble être correcte:
1) Pour un groupe multiplicatif :
Soit (G,.) = $U_{6}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ : k=0 ,... , 5}, x)
o($e^{i.0}$=1) = 1
o($e^{i\frac{\pi}{3}}$) = 6
o($e^{i\frac{2\pi}{3}}$) = 3
o($e^{i\pi}$) = 2
o($e^{i\frac{4\pi}{3}}$) = 3
o($e^{i\frac{5\pi}{3}}$) = 6
En prenant x = $e^{i\frac{4\pi}{3}}$ d'ordre p = 3, et y = $e^{i\pi}$ d'ordre q = 2
Alors xy = $e^{i\frac{4\pi}{3}}.e^{i\pi}$ = $e^{i(\frac{4\pi}{3}+{\pi})}$ = $e^{i\frac{7\pi}{3}}$ = $e^{i\frac{\pi}{3}}$ qui est d'ordre 6 (ci-dessus) tout comme pq = 3*2 = 6 Donc ok pour ce groupe.
2) Pour un groupe additif :
Soit (G,.) = (${\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}}$, +) = ({0,1,2,3,4,5}, +)
o(0) = 1
o(1) = 6
o(2) = 3
o(3) = 2
o(4) = 3
o(5) = 6
En prenant x = 4 d'ordre p = 3, et y = 3 d'ordre q = 2
Alors x+y (car noté additivement) x+y = 7(mod 6) = 1 qui est d'ordre 6 (comme ci-dessus) tout comme pq = 3*2 = 6.
En aparté (Fin de partie) :
Il me semble bien, vu ce dernier test que $xy^{pq}$ en notation additive soit $(pq)(x+y)$ (ou bien je loupe encore quelque chose.)
Maintenant j'ai deux autres questions :
- J'ai réfléchi et je ne vois pas d'exemple pour un groupe infini, comment avoir des éléments d'ordres différents ?
- Peut-on créer (au lieu d'un groupe monogène) un groupe engendré par 2 gènes et quel serait son aspect si je prenais les chiffres 2 et 3 comme gènes ?
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Je viens de relire ton post.
3, 5 et 10 sont des éléments de ce groupe ?
Je pensais que les éléments de ce type de groupe étaient forcément des multiples de 15, non ?
flipflop, ah oui c'est vrai, c'est un groupe infini. ok, mais comment déterminer l'ordre d'un de ses éléments ?
J'imagine que pour des angles modulo ($2\pi/n$) pour (n Naturel) c'est facile mais pour des angles qui ne sont pas modulo ($2\pi/n$) j'imagine qu'ils sont d'ordres infinis n'est-ce pas ?
Je vais réfléchir à ce groupe.
@+
Peut-être que je dis une bêtise mais si je prends $q1\in{\mathbb{Q}}$ tel que q1 = 13/17
L'ordre de cet élément x = $e^{i(2\pi.\frac{13}{17})}$ est-il bien 17, pourvu que numérateur et dénominateur soient premiers entre eux ?
Je comprends tout ça beaucoup mieux.
Dernière chose, à partir des 2 groupes finis $U_{6}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{6}}$ : k=0 ,... , 5}, x) et (${\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}}$, +) on peut faire une bijection.
Il me semble du coup qu'il soit possible d'effectuer une bijection du groupe $\mathbb{U}$ = ($\{ z \in \C, \, |z|=1 \}$, x) vers un autre groupe infini mais je ne sais pas trop comment l'écrire.
Ceci existe-t-il : $({ \mathbb{Z}^{2}/\mathbb{Q}}, +)$ ?
En tout cas cette simple proposition de 2 lignes me parait extrêmement vaste en y regardant de plus près. Je trouve juste dommage que tous les livres donnent un cadre fortement théorique mais peu exemples concrets pour vraiment voir ce qui s'y cache.
tu sembles manipuler les notations d'ensemble quotient (*) sans trop savoir ce que c'est. Dans $A/B$, $B$ est une partie de $A$, ce qui n'est le cas ni de $\mathbb Z^2/\mathbb Q$ ni de $\mathbb R/\mathbb C$.
Revois un cours sur le sujet, sur les groupes quotients par exemple.
Cordialement.
(*) plus exactement de structure quotient