Bonjour à tous.
En essayant de prouver l'irrationalité de ln(2) par l'absurde, j'arrive p-q=p/q ou p/q est une fraction irréductible d'entiers. Je sens que la contradiction est par là mais je vois pas trop où.
Pourriez vous m'aiguiller ?
La preuve la plus rapide de l'irrationnalité de $ln(2)$ utilise le théorème des nombres premiers pour estimer le ppcm de $\{1,\ldots,n\}$ lorsque $n$ devient grand...
Pour celà, il faut considérer (preuve du à Beukers) des bonnes combinaisons linéaires des quantités : $$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{L_{n}(t)}{1+t}dt$$ où $L_{n}$ désigne le $n-$ième polynôme de Legendre défini par $$L_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$$
Je pense que tout autre preuve élémentaire est scabreuse sauf votre respect..... Oo
Je ne suis qu'en terminale, j'essaye de comprendre mais c'est un peu compliqué. En tout cas effectivement après relecture j'ai fait une erreur vraiment bête ( exponentielle d'un produit est égal au produit des exponentielles... J'ai honte) mais je vous remercie d'avoir prit du temps pour ça
No pb ^^
Les preuves d'irrationnalité sont en règle géénrale assez difficile (car technique) et malheureusement le bagage en terminale ne permet peu ou pas de traiter ce type de résultat
Bonne chance cependant!
Un exo que tu peux traiter en Terminale cependant est le suivant : montrer que $\frac{ln(2)}{ln(3)}$ est irrationnel, et tu peux généraliser.
Peut-être que ça satisfera ta soif d'irrationnalité et de logarithme ;-)
Edit: je n'avais pas vu le message de repentance de MatisseR à propos de son erreur et ai cru que la contradiction dont parlait Alain était celle qu'espérait MatisseR pour prouver par l'absurde l'irrationnalité de $Ln (2)$. Désolé.
Je ne vois pas d'autres possibilités que par l'absurde pour prouver l'irrationalité de ln(2)/ln(3)
J'arrive à un moment à 2^q=3^p mais je vois pas trop la contradiction..
Dans le très classique Hardy & Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford 1938-1975 et plus, il est prouvé assez simplement que pour tout $y$ rationnel, $y \neq 0$, le réel $e^y$ est irrationnel (théorème 48, § 4. 7, p. 46), selon une démonstration de Charles Hermite.
D'où immédiatement l'irrationalité de $\ln r$ pour tout rationnel $r>0$, $r \neq 1$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Non mais Assez bizarre ce forum. Le mome dit qu'il est en terminale Chaurien lui propose un bouquin de Hardy et Jean Eric un article utilisant des sous groupes additifs. WEIRD.
Pourquoi pas, pour un élève de terminale qui s'intéresse aux maths et comprend ce qu'il fait. Mais quand on voit ce qu'il écrit sur cet autre sujet, on peut se demander effectivement si c'est bien ciblé. Pour ma part, j'avais pris son incompréhension ci-dessus pour un blocage dû à chercher trop compliqué. je commence à douter.
Le livre de Hardy et Wright comporte de nombreux chapitres élémentaires, à la portée d'un élève de prépas et même d'un élève de Terminale qui voudrait s'avancer un peu.
En particulier, la démonstration, que j'ai citée, de l'irrationalité de $e^r$ pour $r$ rationnel, est tout à fait dans ce cas, puisqu'il n'y a rien d'autre que de la manipulation de dérivées et d'intégrales, et qu'elle n'est pas même rédigée avec cette Intégration Par Parties qui est considérée de nos jours, si j'en crois la rumeur, comme trop compliquée pour les élèves de Terminale.
Cette démonstration d'irrationalité de $e^r$ pour $r$ rationnel, ressemble à celle de $\pi$ et $\pi^2$ par Ivan Niven, qui comme j'ai dit avait été publiée dans le Journal de Mathématiques élémentaires, Vuibert, en 1961.
Pour cette démonstration d'irrationalité de $e^r$ pour $r$ rationnel, Hardy & Wright font référence à Charles Hermite comme j'ai dit, mais j'ai des doutes : Hermite, c'est plutôt la transcendance de $e$. J'ai cherché dans les œuvres de Hermite et je n'ai pas trouvé la démonstration en question, mais peut-être n'ai-je pas bien cherché.
Je me demande si cette démonstration n'est pas due elle aussi à Ivan Niven, comme pour $\pi$ et $\pi^2$. Et justement, on la trouve aussi dans : Ivan Niven, Irrational Numbers, The Carus Mathematical Monographs, Nr. 11, The Mathematical Association of America, 1967.
Chaurien,
il s'agit bien d'une démonstration originale due à Hermite. Elle apparaît au paragraphe III de l'article intitulé "Sur la fonction exponentielle" qui est disponible ici (la preuve de l'irrationalité de $e^x$ avec $x$ entier est sur la page suivante) et qui se trouve également dans le tome III des Oeuvres d'Hermite p. 153-154.
Cordialement,
LP
Je peux aussi te joindre (si tu aimes l'apprentissage actif) un énoncé sous forme de questions (peut-être un peu plus digeste quand on veut s'initier aux preuves d'irrationnalité!)
Bonjour,
je suis en train de faire le sujet proposé par Bobbyjoe. Je ne vois pas trop où ils veulent en venir dans les deux dernières questions autant j'arrive à trouver une expression asymptotique de $d_n$ en fonction de $\pi(n)$ mais pas une expression tout court et pour la dernière question je ne vois rien du tout comme contradiction...
EDIT : en fait une majoration de $d_n$ suffisait pour établir $d_n= o(4^n)$ et arriver à la contradiction...
Réponses
Cordialement.
Pour celà, il faut considérer (preuve du à Beukers) des bonnes combinaisons linéaires des quantités : $$I_{n}=\int_{0}^{1} \frac{L_{n}(t)}{1+t}dt$$ où $L_{n}$ désigne le $n-$ième polynôme de Legendre défini par $$L_{n}(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$$
Je pense que tout autre preuve élémentaire est scabreuse sauf votre respect..... Oo
Les preuves d'irrationnalité sont en règle géénrale assez difficile (car technique) et malheureusement le bagage en terminale ne permet peu ou pas de traiter ce type de résultat
Bonne chance cependant!
Peut-être que ça satisfera ta soif d'irrationnalité et de logarithme ;-)
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1433850,1433876#msg-1433876
Dire que $p/q$ est entier avec $p$ et $q$ premiers entre eux te permet d'affirmer que $q=\pm 1$. Tu remplaces dans ton équation et la contradiction apparaît.
Alain
Cordialement
Paul
Edit: je n'avais pas vu le message de repentance de MatisseR à propos de son erreur et ai cru que la contradiction dont parlait Alain était celle qu'espérait MatisseR pour prouver par l'absurde l'irrationnalité de $Ln (2)$. Désolé.
J'arrive à un moment à 2^q=3^p mais je vois pas trop la contradiction..
2^q=3^p le premier membre est pair, le second pas.
Cordialement.
D'où immédiatement l'irrationalité de $\ln r$ pour tout rationnel $r>0$, $r \neq 1$.
Bonne journée.
Fr. Ch.
je pense que cet article permet de répondre et bien plus :
Texte de M. Rombaldi
Cordialement.
Cordialement.
En particulier, la démonstration, que j'ai citée, de l'irrationalité de $e^r$ pour $r$ rationnel, est tout à fait dans ce cas, puisqu'il n'y a rien d'autre que de la manipulation de dérivées et d'intégrales, et qu'elle n'est pas même rédigée avec cette Intégration Par Parties qui est considérée de nos jours, si j'en crois la rumeur, comme trop compliquée pour les élèves de Terminale.
Cette démonstration d'irrationalité de $e^r$ pour $r$ rationnel, ressemble à celle de $\pi$ et $\pi^2$ par Ivan Niven, qui comme j'ai dit avait été publiée dans le Journal de Mathématiques élémentaires, Vuibert, en 1961.
Pour cette démonstration d'irrationalité de $e^r$ pour $r$ rationnel, Hardy & Wright font référence à Charles Hermite comme j'ai dit, mais j'ai des doutes : Hermite, c'est plutôt la transcendance de $e$. J'ai cherché dans les œuvres de Hermite et je n'ai pas trouvé la démonstration en question, mais peut-être n'ai-je pas bien cherché.
Je me demande si cette démonstration n'est pas due elle aussi à Ivan Niven, comme pour $\pi$ et $\pi^2$. Et justement, on la trouve aussi dans : Ivan Niven, Irrational Numbers, The Carus Mathematical Monographs, Nr. 11, The Mathematical Association of America, 1967.
Bonne journée.
Fr. Ch.
il s'agit bien d'une démonstration originale due à Hermite. Elle apparaît au paragraphe III de l'article intitulé "Sur la fonction exponentielle" qui est disponible ici (la preuve de l'irrationalité de $e^x$ avec $x$ entier est sur la page suivante) et qui se trouve également dans le tome III des Oeuvres d'Hermite p. 153-154.
Cordialement,
LP
Bonne soirée.
Fr. Ch.
concernant la démo. utilisant les polynômes de Legendre!
Tu peux regarder:
https://arxiv.org/pdf/1308.2720.pdf
(désolé c'est en Anglais)
https://www.researchgate.net/publication/231789615_Legendre_polynomials_in_irrationality_proofs
je suis en train de faire le sujet proposé par Bobbyjoe. Je ne vois pas trop où ils veulent en venir dans les deux dernières questions autant j'arrive à trouver une expression asymptotique de $d_n$ en fonction de $\pi(n)$ mais pas une expression tout court et pour la dernière question je ne vois rien du tout comme contradiction...
EDIT : en fait une majoration de $d_n$ suffisait pour établir $d_n= o(4^n)$ et arriver à la contradiction...