Sur-anneaux de IR
dans Algèbre
L'histoire a donné une sorte d'unanimité en faveur de $\C:=\R[X] / (X^2+1)$ (corps des nombres complexes) et du coup j'ai un peu l'impression que certains autres sur-anneaux n'ont pas bénéficié des mêmes faveurs.
On peut constater que l'étude de $\C$ ne s'est pas réduite à quelques considérations algébriques à propos de $\C$, qu'on n'a pas juste voulu le voir à isomorphisme près, mais qu'au contraire, il a été retourné dans tous les sens, a permis de développer la trigonométrie, donné les formules de Moivre, été utilisé (de manière ad hoc ?) en théorie quantique, donné lieu à l'étude des fonctions holomorphes, etc. Bref, on ne compte plus la littérature et la profondeur du corpus de découvertes faites à son propos.
J'aimerais bien savoir si on a des stratégies systématiques pour en faire autant avec d'autres sur-anneaux de IR, comme par exemple $A:= \R[X]/(X^2)$ (étude de certains "infiniment petits") ou $B:=\R[X]/(X^2-1)$ (étude d'un objet dont on ignore s'il vaut $1$ ou plutôt $(-1)$ sans pouvoir vraiment valoir autre chose). Quelles géométries***, quelles conséquences en analyse, etc ?
Avez-vous des informations à ce sujet ?
L'anneau $B$ je le trouve intéressant dans la mesure où la multiplication $(a,b)\times (x,y):= (ax+by, ay+bx)$ fait la partie réelle est le produit scalaire.
*** en particulier, correspondances avec des matrices.
On peut constater que l'étude de $\C$ ne s'est pas réduite à quelques considérations algébriques à propos de $\C$, qu'on n'a pas juste voulu le voir à isomorphisme près, mais qu'au contraire, il a été retourné dans tous les sens, a permis de développer la trigonométrie, donné les formules de Moivre, été utilisé (de manière ad hoc ?) en théorie quantique, donné lieu à l'étude des fonctions holomorphes, etc. Bref, on ne compte plus la littérature et la profondeur du corpus de découvertes faites à son propos.
J'aimerais bien savoir si on a des stratégies systématiques pour en faire autant avec d'autres sur-anneaux de IR, comme par exemple $A:= \R[X]/(X^2)$ (étude de certains "infiniment petits") ou $B:=\R[X]/(X^2-1)$ (étude d'un objet dont on ignore s'il vaut $1$ ou plutôt $(-1)$ sans pouvoir vraiment valoir autre chose). Quelles géométries***, quelles conséquences en analyse, etc ?
Avez-vous des informations à ce sujet ?
L'anneau $B$ je le trouve intéressant dans la mesure où la multiplication $(a,b)\times (x,y):= (ax+by, ay+bx)$ fait la partie réelle est le produit scalaire.
*** en particulier, correspondances avec des matrices.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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L'anneau $B$ est bêtement isomorphe à l'anneau produit $\R\times \R$. Pas vraiment de quoi fantasmer.
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Merci GBZM: ah oui, je te comprends, les idéaux $(X-1)$ et $(X+1)$ sont premiers entre eux, donc théorème chinois et hop!
Cela dit, comme je l'ai dit, qu'en est-il des autres anneaux qu'on peut imaginer dans ce genre-là, et le fait de connaitre "à isomorphisme près" l'anneau n'épuise pas forcément les choses. Je veux dire par exemple que $\R\times \R$ est peut-être passionnant?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Fais en quelque chose d'intéressant, si vraiment il te fait fantasmer. Comme je disais dans un autre fil, tu as vraiment une conception curieuse des mathématiques.
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... de Bergerac ? (:D
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Est-ce qu'en factorisant l'idéal par lequel on quotiente, on ne tombe pas toujours sur un produit de $\mathbb R$ et $\mathbb C$ auquel on ajoute des nilpotents?
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Que penses tu de C_p? Qui est bien abstraitement isomorphe à C en tant que corps (donc qui est un suranneau de R), mais qui est topologisé tres differement, et qui donne lieu à une geometrie tres differente aussi (bien qu'on essaie de copier ce qu'il se passe sur C dessus).
Ou dans une autre direction, aux corps de fonctions sur C ou R disons? -
Tu parles des $\R$-algèbres finies ? (je m'adresse à Shah)
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Chaurien écrivait:
> ... de Bergerac ? (:D
Oui ? :-D -
Je parlais des quotients de $\mathbb R[X]$, dans la continuité du post de Christophe bien sûr.
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Un suranneau de $\R$ (titre donné par Christophe) n'est pas forcément un quotient de $\R[X]$, sauf erreur.
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Non, par exemple sauf erreur $\mathbb R[X,Y]/(X^2-1,Y^2-1,XY)$. Cela étant, comme dans son premier post il a semblé se limiter à ce cas-là, c'est sur icelui que portait ma question.
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L'exemple que tu donnes n'est justement pas un exemple de suranneau (même de Bergerac).
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Zut j'ai encore écrit une énormité. Mon contre-exemple débile ne marche pas du tout.
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sur-anneau suranné? C'est bon, je sors. B-)-
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Heu... une définition doit m'echapper, c'est quoi que vous appelez un suranneau? Pas une R-algèbre?
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Ce qu'il s'est passé, c'est que je pensais initialement à $\mathbb R[X,Y]/(X^2-1, Y^2-1,XY)$ et que ma petite tête a quotienté par $1=2$.
Edit: oulà c'est dûr le matin! J'ai écrit deux fois la même annerie. -
Pour Noname : $B$ est un suranneau de $A$ quand $A$ est un sous-anneau de $B$. Non ?
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Ben, c'est bien ce que je comprennais aussi, mais ton "sauf erreur" m'a fait douter, car des anneaux qui ne sont pas quotients de R[X], et qui contiennent R comme sous anneau, y en a, et je sais que tu le sais. Donc je me suis dit qu'une condition devait me manquer.
Bon, et j'avais pas percuté que l'anneau de Shah d'Ock etait nul. -
C'est bien ici le problème. ;-)Bon, et j'avais pas percuté que l'anneau de Shah d'Ock etait nul. -
Merci pour vos interventions, je suis peu dispo, là, mais je lirai ça attentivementAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Sha d'Ock a écrit:Edit: oulà c'est dûr le matin! J'ai écrit deux fois la même annerie.
ânerie tu veux dire. Anne est un prénom féminin. B-)- -
c'est quoi que vous appelez un suranneau?
GBZM a répondu plus haut. Ca m'est plus rapide de taper que de copier-coller avec les vapeurs du forum face aux symboles spéciaux: A sur-anneau de B ssi B sous-anneau de A.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je t'encourage à te renseigner sur la géométrie sur C_p, qui est en un sens assez similaire à ce qu'il se passe sur C, mais avec assez de différences pour être riche et source de phénomènes intéressants.
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