Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
269 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Réseaux et courbes elliptiques

Envoyé par flipflop 
Re: Réseaux et courbes elliptiques
15 avril 2017, 11:48
@flip flop
Je n'ai pas répondu à ton avant dernier post (concernant les références sur le monde de la fumette) car je ne savais pas quoi répondre.

Ton dernier post : oui, pour une courbe elliptique rationnelle $E$, le comptage des points modulo $p$ de $E$ conduit à une forme modulaire de poids 2 pour le groupe $\Gamma_0(N)$ où $N$ est le conducteur de $E$.

Le ``petit'' (sic) problème est de définir tout ce beau monde.

(1) Existence d'un modèle minimal sur $\Z$ d'une équation de Weierstrass de $E$ et unicité à un $\Z$-isomorphisme près.

(2) Définir (ou savoir ?) ce qu'est le conducteur $N$ de $E$ (j'y ai renoncé depuis pas mal de temps).

(3) Définir de manière précise ce qu'est le comptage des points modulo $p$. Il faut définir de manière ultra-carrée ce qu'est, pour un premier donné, la famille $(t_{p^r})_{r \ge 0}$ associée à $E$. On va dire que c'est du type $L$-série.
$$
L_{E/\mathbb F_p} = {1 \over (1-T)(1-pT) Z_{E/\mathbb F_p}(T)} = 1 + t_p T + \cdots = \sum_{r \ge 0} t_{p^r} T^r
$$
(4) Ensuite, rassembler (via un assemblage multiplicatif) tous les objets modulo $p$ pour fabriquer un objet modulaire ``de la caractéristique $0$'' (c'est moi qui dit) pour obtenir le Graal :
$$
\sum_{n \ge 1} t_n q^n = q \pm \cdots \qquad \qquad (\star)
$$
(5) Et enfin, à ce moment, tu peux déguster. Car $(\star)$ est le développement en $q = e^{2i\pi\tau}$ d'un habitant de $S_2(\Gamma_0(N))$ (sous-espace de $M_2(\Gamma_0(N))$ constitué des formes dites paraboliques ou cuspidales).
Re: Réseaux et courbes elliptiques
15 avril 2017, 12:21
@flip flop
Dans mon dernier post, ce que je devrais dire (et que je n'ai pas dit vu mon blocage analytique) c'est qu'une courbe elliptique rationnelle $E$ possède une $L$-série :
$$
L_E(s) = {\zeta(s) \zeta(s-1) \over \prod_p Z_{E/\mathbb F_p}(p^{-s})}
$$
Je n'ai parlé que des ``Euler facteurs''. Do you see what I mean ? Par exemple :
$$
\zeta(s) = \prod_p {1 \over 1 - p^{-s}} = \prod_p Z_p(p^{-s}) \qquad \qquad Z_p(T) = {1 \over 1-T}
$$
et
$$
\zeta(s-1) = \prod_p {1 \over 1 - p^{-{s-1}}} = \prod_p Z'_p(p^{-s}) \qquad \qquad Z'_p(T) = {1 \over 1-pT}
$$
De toutes manières, dans le cas d'une courbe elliptique rationnelle $E$, on a absolument besoin du comptage modulo $p$ et de dire combien cela fait $Z_{E/\mathbb F_p}(T)$ que $p$ soit de bonne ou mauvaise réduction. Do you see what I mean again ?

Et à un certain moment, dans l'autre fil, on s'est, en un certain sens, égaré. Suite à ton erreur de comptage dans un cas de mauvaise réduction. Tu saurais retrouver ? Et cela a dévié sur $x^n = y^n(x + a)$ et du comptage dans les corps de nombres (ce qui n'est quand même pas étranger à ..). Et ensuite, je ne sais plus pour quelle raison, le corps des écoles s'est pointé ...etc...

Oui, on peut dire que l'on s'est égaré mais mais ``Monsieur, oui on parlait, mais on parlait de maths'' (ou du moins, on essayait).
Re: Réseaux et courbes elliptiques
15 avril 2017, 12:42
avatar
@Claude : Bah oui, je suis parti en vrille (mais vraiment en vrille grinning smiley) avec $y^n=x^n(x+a)$ ! Mais je t'ai pris au pied de la lettre : regarde ici, c'est toi qui a dit qu'il fallait terminer $y^n=x^n(x+a)$ grinning smiley

Je vais reprendre un peu le Koblitz !
Re: Réseaux et courbes elliptiques
15 avril 2017, 21:45
@flip flop
Voilà où on en était au 30 Janvier 2017. Le point (2) n'a jamais été terminé. J'ai juste recompilé le fichier (d'où l'estampille du 15 avril), corrigé quelques coquilles, et ajouté un point à la fin. Mais, il s'est passé un certain nombre de choses depuis 2 mois dont j'ai du mal à rendre compte.

Un des gros problèmes que nous rencontrons en permanence c'est que nous ne comprenons pas tel ou tel point. D'où pas mal de trous. Nous faisons alors des pauses pour essayer de boucher ces trous mais d'autres trous apparaissent. Et le temps passe. Des jours, des semaines, et souvent des mois. Et on perd le fil de ..

J'avais bien proposé une stratégie pour combattre ces désagréments mais personne n'a voulu m'écouter. Je la réitère pour l'avenir ; elle est simple : pourquoi ne pas comprendre tout, et tout de suite, sans que cela ne traîne des semaines et des semaines. Cela nous ferait gagner beaucoup de temps et on pourrait ainsi avancer. Qu'en dis tu ?
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ResumeFlipFlopGaiRequin.pdf (266 KB)
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 16:32
avatar
Petit lien : ici

Pour $p = 3 \pmod{4}$.

Je suis entrain de faire le tri avec mes fichiers latex ... et les exemples dans le forum ... c'est un peu le bordel grinning smiley

Pour $p=1 \pmod{4}$

lien



Modifié 1 fois. Dernière modification le 16/04/2017 17:42 par flipflop.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 17:26
@flip flop
Un peu, tu trouves ? Je ne sais pas si on aura le courage de .. Et dans ce domaine (en faire pas mal mais sans conclure) $1 - \varepsilon = 0$.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 18:39
avatar
Claude, on est bon pour $E_{n^2} \, : \, y^2=x^3-n^2x$.
On a toute les fonctions zéta local.
Si $p$ divise $2n$ alors : $$
Z(E_{n^2},\mathbb{F}_p) = \frac{1}{(1-T)(1-pT)}
$$ Sinon, si $p=3 \pmod{4}$ alors $$
Z(E_{n^2},\mathbb{F}_p) = \frac{1+pT^2}{{(1-T)(1-pT)}}
$$ si $p=1 \pmod{4}$ alors $$
Z(E_{n^2},\mathbb{F}_p) = \frac{(1-\alpha T)(1-\overline{\alpha}T)}{{(1-T)(1-pT)}}
$$ Avec $\alpha$ construit de la manière suivante.

Edit : Lorsque $n$ est un carré modulo $p$.
$\alpha := a+ib \in \Z[ i]$ avec $N(\alpha)=p$ et $b=0 \pmod{2}$ et $a=1+b\pmod{4}$

Lorsque $n$ n'est pas un carré modulo $p$.
$\alpha := a+ib \in \Z[ i]$ avec $N(\alpha)=p$ et $b=0 \pmod{2}$ et $a=-1-b\pmod{4}$

On comprends bien le rôle de $\zeta(s) \zeta(s-1)$ qui va chasser les numérateurs communs.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 16/04/2017 19:31 par AD.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 19:45
@flipflop :

C'était l'époque où je ne pouvais pas vous suivre ! thumbs up

P.S. : J'adore tes pdf ! winking smiley
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 20:00
avatar
@Gai requin : Le pire c'est que c'est toi qui a fait le calcul de congruence dans $\Z[ i]$ :)

Y'a plus qu'a faire le produit, regrouper, trifouiller, bricoler et obtenir une fonction modulaire ahahah, j'aimerai bien faire ça, après je stop les maths pour réviser le concours l'année prochaine !!!
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 20:18
@flip flop
Merci pour les retrouvailles. Comme tout ceci est loin, on va faire $n=1$ i.e. jouer avec la courbe elliptique $E_1 : y^2 = x^3 - x$. En louchant sur Koblitz, il faut être capable de déterminer la famille d'entiers $(t_n)_{n \ge 1}$ telle que :
$$
L_{E_1}(s) = \sum_{n \ge 1} t_n n^{-s} \qquad\qquad (\star)
$$
Evidemment le $n$ ci-dessus en indice de la somme n'a rien à voir avec le $n$ de la courbe $E_{n^2}$ de Koblitz.

Mais déjà, avant d'obtenir $(\star)$, il faut se rendre compte du bonheur que l'on a sous la main d'avoir les fonctions zeta locales. Car cela constitue le théorème de Gauss. Je prends juste un exemple avec bien sûr $p \equiv 1 \bmod 4$ car c'est plus sport que $p \equiv 3 \bmod 4$. C'est histoire de se remettre dans le bain :

> E := EllipticCurve([-1,0]) ;
> p := 4*Random(10,10^2) + 1 ; repeat p := p+4 ; until IsPrime(p) ;
> p ;
389
> Ep := ChangeRing(E, GF(p)) ;
> tp := TraceOfFrobenius(Ep) ;
> tp ;
-34
> tp eq p+1 - #Ep ;
true
> pi := PrimaryFactor(p) ;
> pi ;
-10*i - 17
> tp eq Trace(pi) ;
true
Le $\pi$ en question vérifie $p = \pi\overline\pi$ et il est normalisé au sens où $\pi \equiv 1 \bmod (1+i)^3$. C'est cela le théorème de Gauss i.e. que :
$$
\#E(\mathbb F_p) = p+1 - t_p \qquad \hbox {avec} \quad t_p = \mathrm {Trace}(\pi)
$$
OK ? Bien sûr $E$ c'est $E_1$. Note : PrimaryFactor c'est un truc de mézigue bricolé à partir de Primary de magma.

Le deuxième bonheur, c'est que l'on t'annonce que :
$$
f_E = \sum_{n \ge 1} t_n q^n, \qquad \qquad (\star')
$$
est une forme modulaire de poids 2 pour le groupe $\Gamma_0(32)$ : 32 c'est le conducteur de la courbe elliptique $E_1$. Et là, tu es prié de t'extasier.


> E := EllipticCurve([-1,0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> Conductor(E) ;
32
> fE := ModularForm(E) ;
> fE ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + O(q^12)
> Parent(fE) ;
Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 1 over Integer Ring.
> 
> M2Gamma0_32 := ModularForms(Gamma0(32),2) ;
> M2Gamma0_32 ;
Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 8 over Integer Ring.
> S2Gamma0_32 := CuspidalSubspace(M2Gamma0_32) ;
> S2Gamma0_32 ;
Space of modular forms on Gamma_0(32) of weight 2 and dimension 1 over Integer Ring.
> 
> graal := Basis(S2Gamma0_32)[1] ;
> qExpansion(graal, 100) ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65 
    - 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 + O(q^100)
>                                                                                                                                          
> qExpansion(fE, 100) ;   
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65 
 - 6*q^73 + 9*q^81 -   4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97 + O(q^100)

Par chance, l'espace $S_2(\Gamma_0(32))$ où vit $f_E$ est de dimension 1. Pour peu que l'on trouve dans la nature un habitant de cet espace $S_2(\Gamma_0(32))$ produit par une autre théorie, ça va beugner comme on dit chez nous autres.

Bon, c'est juste un petit aperçu de la chose, histoire de s'y remettre. Pour l'instant, il faut assembler les fonctions zeta locales pour obtenir $(\star)$ ou $(\star')$, c'est pareil. Il va intervenir une sorte de caractère $\chi$ défini sur les idéaux non nuls de $\Z[i\rbrack$ qui fera que :
$$
f_E = \sum_I \chi(I)\ q^{N(I)}
$$
La somme porte sur les idéaux non nuls de $\Z[i\rbrack$ et $N(I)$ c'est la norme i.e. $N(\langle a+ib\rangle) = N(a + ib) = a^2 + b^2$. Le ``caractère'' $\chi$ est défini sur les idéaux premiers et propagé par multiplicativité.
Ben, faut ouvrir de nouveau Koblitz. Et on a les moyens de s'apercevoir si on a compris ou pas (en ayant fait plus que de l'ouvrir i.e. en lisant !).
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 20:55
@flip flop
Juste un exemple d'aller dans la nature à la recherche de $S_2(\Gamma_0(32))$. Et je ne suis pas hors-sujet vu le titre te ton fil. Tu as peut-être entendu parler du discriminant modulaire $\Delta$, qui est, dans le contexte des réseaux de $\C$, la quantité $g_2^3 - 27g_3^2$ attachée à l'équation elliptique $y^2 = 4x^3 - g_2x - g_3$ (c'est le discriminant de $4X^3 - g_2X - g_3$, divisé par $16$).

Mais on va $(2i\pi)$-épurer le binz et exprimer le discriminant modulaire en fonction des séries d'Eisenstein $E_4(q)$ et $E_6(q)$ (tu sais, l'activité qui consiste à faire attention aux constantes). On trouve :
$$
\Delta_{2i\pi(\Z \oplus \Z\tau)} = {E_4^3(q) - E_6^2(q) \over 12^3} = {E_4^3(q) - E_6^2(q) \over 1728} \qquad \qquad q = e^{2i\pi\tau}
$$
Et on un célébre résultat (Jacobi, je pense) qui annonce :
$$
\Delta(q) = q \prod_{n \ge 1} (1 - q^n)^{24}
$$
On introduit alors la fonction $\eta$ de Dedekind qui est la racine 24-ième du discriminant modulaire :
$$
\eta(q) = q^{1 \over 24} \prod_{n \ge 1} (1 - q^n)
$$
Et la chute, c'est que le $\eta$-produit suivant :
$$
\big( \eta(q^4) \eta(q^8) \big)^2 \quad \hbox {est une forme parabolique de poids 2 pour $\Gamma_0(32)$}
$$
I.e. un habitant de $S_2(\Gamma_0(32))$. Mais c'est déjà habité par la forme modulaire de comptage de la courbe elliptique $y^2 = x^3 - x$.

Tu imagines ce qui va arriver ?
Re: Réseaux et courbes elliptiques
16 avril 2017, 21:10
avatar
Elles sont égales les deux formes, car elles ont le même premier terme smiling smiley

On peut aussi faire des formes quadratiques avec des fonctions thétas ?
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 09:14
@flip flop
Oui, les deux formes sont égales et je vais peut-être faire joujou dans un prochain post. Je ne réponds pas à ta question sur les séries $\Theta$ de formes quadratiques, on va dire pour la bonne raison que je ne sais pas y répondre. Ou plutôt qu'on risque de se perdre en parlant de :
$$
M_2(\Gamma_0(N)) = S_2(\Gamma_0(N)) \oplus E_2(\Gamma_0(N)) \qquad N = 32
$$
Revenons à nos moutons. Pour une courbe elliptique rationnelle $E$, ``par définition''
$$
L_E(s) = {\zeta(s) \zeta(s-1) \over \prod_p Z_{E/\mathbb F_p}(p^{-s})} = \prod_p L_{E/\mathbb F_p}(p^{-s})
$$
Attention à mes notations qui témoignent de mon blocage analytique : je tiens à voir les ``facteurs $p$-Eulériens'' comme des fractions rationnelles en une indéterminée $T$ :
$$
L_{E/\mathbb F_p}(T) \quad \buildrel {\rm def} \over = \quad {1 \over (1-T)(1-pT)Z_{E/\mathbb F_p}(T)} =
\cases {
{1 \over 1 - t_pT + pT^2} & si $p$ de bonne réduction \cr
{1 \over 1 - t_pT} & sinon \cr
}
$$
Et ainsi je peux faire $T := p^{-s}$ dans les facteurs du produit là haut. Certains auteurs notent plutôt $L_p(E,s)$ que $L_{E/\mathbb F_p}(p^{-s})$.

J'ai utilisé le fait que :
$$
Z_{E/\mathbb F_p}(T) = \cases {
{1 - t_pT + pT^2 \over (1-T)(1 - pT)} & si $p$ de bonne réduction \cr
{1 - t_pT \over (1-T)(1 - pT)} & si $p$ de mauvaise réduction \cr
}
$$
Dans le cas de mauvaise réduction, on sait, selon le type de la singularité, déterminer $t_p$ qui vaut $0, \pm 1$. Dans le cas de bonne réduction, le fait que l'on dispose de l'entier $t_p$ et de cette fraction rationnelle $Z_{E/\mathbb F_p}(T)$ est un résultat très fort : c'est le théorème de Hasse-Weil pour les courbes elliptiques sur les corps finis. Très fort car on peut écrire :
$$
1 - t_pT + pT^2 = (1 - \alpha_pT) (1 - \overline {\alpha_p}\ T)
$$
Et le coup de la fraction rationnelle, via ``if the author is polite'', annonce que le nombre de points de $E$ sur $\mathbb F_{p^r}$ est $p^r + 1 - (\alpha_p^r + \overline \alpha_p^r)$.

Venons en à notre courbe elliptique $E_1 : y^2 = x^3 - x$. Tu vas me dire si tu es d'accord avec ce qui suit. D'abord un seul premier $p$ de mauvaise réduction qui est $p=2$ pour lequel $t_2 = 0$. Je définis un ``grossen character'' $\chi$ à valeurs dans $\mathbb Z[i\rbrack$ par ses valeurs en un idéal premier $\mathfrak p$ de $\Z[i\rbrack$
$$
\chi(\mathfrak p) = \cases {
0 & si $\mathfrak p = \langle 1+i\rangle$ \cr
\hbox {le générateur normalisé de $\mathfrak p$} & sinon \cr
}
$$
Dire qu'en entier de Gauss $z$ (non divisible par $1+i$) est normalisé, c'est comme d'habitude, cela signifie $z \equiv 1 \bmod (1+i)^3$ : pour tout entier de Gauss $z'$ non divisible par $1+i$, il existe un seul $z$ associé à $z'$ qui soit normalisé.

Et ce que je dis, sachant ce que l'on sait sur $Z_{E_1/\mathbb F_p}(T)$, que l'on peut écrire, dans TOUS les cas :
$$
L_{E/\mathbb F_p}(p^{-s}) = \prod_{\mathfrak p \mid p} {1 \over 1 - {\chi(\mathfrak p) \over N(\mathfrak p)^s}}
$$
Ou encore si tu veux, pour $p \ne 2$ :
$$
(1 - t_p T + pT^2)_{T := p^{-s}} = \prod_{\mathfrak p \mid p} \Bigl( 1 - {\chi(\mathfrak p) \over N(\mathfrak p)^s} \Bigr)
$$
Une fois que tu seras d'accord avec cela (modulo les erreurs que j'espère minimes), le terrain sera prêt pour l'assemblage conduisant à la forme modulaire de comptage modulo $p$ de la courbe elliptique $E_1 : y^2 = x^3 - x$.

A toi.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 09:54
@flip flop
Bon, là je joue. Avec le $\eta$-produit d'hier soir, que j'écris sous la forme :
$$
q P(q^4)^2 P(q^8)^2 \qquad \hbox {où} \qquad P(q) = \prod_{n=1}^\infty (1 - q^n)
$$
On a convenu que c'était le seul habitant de $S_2(\Gamma_0(32))$ dont le développement est $q \pm \cdots$. Convenu, cela signifie qu'il y a des gens calés qui savent déterminer la dimension de cet espace (c'est 1) et qui savent montrer que ce $\eta$-produit y habite.

Je vais y jouer de manière pas très intelligente car je vais prendre $\infty = 100$ et je vais utiliser une ``Lazy series'', histoire de changer un peu. Le mieux serait d'utiliser la fonction toute faite DedekindEta, bien plus efficace. Mais quand je joue, je fais ce que je veux. Une Lazy série, c'est relativement paresseux comme tu le vois ci-dessous.

> infini := 100 ;                                    
> P := func < q | &*[1 - q^n : n in [1..infini]] > ;
> LPSR<q> := LazyPowerSeriesRing(IntegerRing(), 1) ; 
> Graal := q * P(q^4)^2 * P(q^8)^2 ;
> Graal ;
Lazy power series  <-------- Ici, tu constates la paresse de l'objet
> PrintToPrecision(Graal, 50) ;                     
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49
> 
> E := EllipticCurve([-1,0]) ;                      
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - x over Rational Field
> fE := ModularForm(E) ;
> qExpansion(fE, 50) ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + O(q^50)
> 
> p := 101 ;                                        
> TraceOfFrobenius(ChangeRing(E,GF(p))) ;
-2
> Coefficient(Graal,p) ;
-2

Tout colle.

On en fera de même (ou une variante) avec l'assemblage via le ``Grossen character'' $\chi$ sur $\Z[i\rbrack$.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 10:20
avatar
@Claude :

hum ... j'ai eu un problème de normalisation avec ton exemple ici Mais c'est bon, c'est parce que j'ai considéré $y^2=x^3-4x$ ... mais avec $n=1$, ça le fait !


Edit : $n=1$ ... $y^2=x^3-x$ ...

Concernant ton dernier message :

Du coup, je suis d'accord avec la mauvaise réduction " on a fait ici.

Ensuite,

pour la formule
$$
(1 - t_p T + pT^2)_{T := p^{-s}} = \prod_{\mathfrak p \mid p} \Bigl( 1 - {\chi(\mathfrak p) \over N(\mathfrak p)^s} \Bigr)
$$

On peut séparer les cas :
Si mauvaise réduction, c'est bon !

Si $p=1 \pmod{4}$, on a deux idéaux premiers au dessus de $p$ : $(\alpha)$ et $(\overline{\alpha})$ ... je retrouve bien la formule.

Si $p=3 \pmod{4}$, on a un unique idéal et le normalisé est $-p$ (et non $p$ ... ) donc ça le fait !



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/04/2017 10:29 par flipflop.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 10:45
@flip flop
Et bien, on va prolonger le Grossen character $\chi$ aux idéaux non nuls de $\Z[i\rbrack$ par multiplicativité. Et sans tricher, on trouve :
$$
\chi(I) = \cases {
0 & si $1 + i \mid I$ i.e. si $I \subset \langle 1+i\rangle$ \cr
\hbox {le générateur normalisé de $I$} & sinon \cr
}
$$
Es tu ok ? Disons que cela vient d'une part du fait que le produit de deux éléments normalisés est normalisé i.e.
$$
[z \equiv 1 \bmod (1+i)^3 \quad \hbox {et} \quad z' \equiv 1 \bmod (1+i)^3] \quad\Rightarrow\quad zz' \equiv 1 \bmod (1+i)^3
$$
Et que d'autre part 0 fois quelque chose est égal à 0.

C'est presque mûr pour assemblage en utilisant le fait que $\Z[i\rbrack$ est principal.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/04/2017 10:55 par claude quitté.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 11:40
avatar
Le trick de Riemann :
$$\prod_p L_{E/\mathbb F_p}(p^{-s}) = \prod_{\mathfrak{p}} \left(1-\frac{\chi(\mathfrak{p})}{N(\mathfrak{p})^s} \right) ^{-1} = \sum_{I \subset\Z[ i] } \frac{\chi(I)}{N(I)^s}=\sum_{w \in \Z[ i] ^{\text{Norma}}} \frac{\chi(w)}{N(w)^s} $$
où la première somme est étendue à tous les idéaux de $\Z[ i]$ non nuls.

où la deuxième sommatation est sur les $w \in \Z[ i]$ non nuls et normalisés i.e $w=a+ib$ avec $b= 0 \pmod{2}$ et $a=b+1 \pmod{4}$. (i.e $w = 1 \pmod{(1+i})^3$).

Bon là faut faire un peu gaffe ...
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 12:09
@flip flop
Deuxième sommatation? Vraiment ? Sinon, OK. L'assemblage est donc (sommation sur les idéaux non nuls) :
$$
L_E(s) = \sum_I \chi(I) N(I)^{-s} = \sum_{n \ge 1} t_n n^{-s} \quad\qquad \hbox {versus} \qquad\quad
f_E(q) = \sum_I \chi(I) q^{N(I)} = \sum_{n \ge 1} t_n q^n
$$
A gauche, le monde analytique, à droite le monde modulaire (désolé pour la naïveté du propos).

Oui, bien sûr, il faut faire attention. Mais on va aller jusqu'au bout. On va sommer sur les $a+ib$ en faisant vachement gaffe de ne pas compter 4 fois ...etc.. C'est un peu magma-technique car il faut montrer des séries au dessus de $\Z$ et au dessus de $\Q(i)$ même si à la fin, il n'y a plus que des entiers (les calculs intermédiaires passent par les entiers de Gauss). Quelques déclarations :

Z := IntegerRing() ;
Zq<q> := PowerSeriesRing(Z) ;
Qi := QuadraticField(-1) ;
Qiq<q> := PowerSeriesRing(Qi) ;
Zi<i> :=  RingOfIntegers(Qi) ;
precision := 10^2 ;
AssertAttribute(Zq, "Precision", precision) ;
AssertAttribute(Qiq, "Precision", precision) ;

Et puis enfin, de l'action. Je passe sur les détails (j'ai isolé le premier terme correspondant à l'idéal $I$ égal à $\Z[i\rbrack$ tout entier, j'ai divisé par $4$ au bon endroit et of course, j'ai tenu compte de la définition du Grossen character $\chi$ ..etc...) :

/// Assemblage
Chi := map < Zi -> Zi | z :-> (Nz le 2 or IsEven(Nz)) select 0 else Primary(z) where Nz is Norm(z) > ;

// 1 < a^2 + b^2 <= precision  =>   a in [-sqrt(precision) .. sqrt(precision)]
// et   b in [-sqrt(precision-a^2) .. sqrt(precision-a^2)]
S := q + 1/4 * &+[Chi(a+i*b) * q^(a^2 + b^2) :
              b in [-B .. B] where B is Isqrt(precision-a^2),  a in [-A .. A] where A is Isqrt(precision)] ;

Et pour nos yeux :

> S := Zq!S ;
> S ;
q - 2*q^5 - 3*q^9 + 6*q^13 + 2*q^17 - q^25 - 10*q^29 - 2*q^37 + 10*q^41 + 6*q^45 - 7*q^49 + 14*q^53 - 10*q^61 - 12*q^65
    - 6*q^73 + 9*q^81 - 4*q^85 + 10*q^89 + 18*q^97
> fE := ModularForm(E) ;
> S - qExpansion(fE, precision) ;
O(q^100)

Ca colle.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 13:12
avatar
C'est fun sommatation grinning smiley Peut-être que c'est parce que j'étais entrain de manger une tomate smiling smiley

J'ai besoin d'un peu de temps pour percuter, il y a une opération étrange $q^n$ vs $n^{-s}$ (admettons) et on n'a pas perdu les points sur les corps finis ... C'est plus surprenant !!!

si $p=1 \pmod{4}$, j'arrive à suivre ... on va avoir $w$ et $\overline{w}$ (normalisé) de norme $p$ et on peut regrouper ... donc le coefficient $t_p$ et bien $p+1-\# (E_1(\mathbb{F}_p))$.

Je regarde précis $p=3 \pmod{4}$ ... y'a un truc que je n'arrive pas à suivre ! Mais ça va le faire !

Le truc fort c'est que comme on a (enfin les grands) une autre forme modulaire (cusp) de poids $2$ pour $\Gamma_0(32)$ ... on peut retrouver les points sur la courbe $y^2=x^3-x$ sur les corps finis sans passer par les sommes de Gauss et Jacobi et tout et tout ...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/04/2017 13:13 par flipflop.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 13:35
Une petite remarque sur le fait que je veux ma fraction rationnelle $L_{E/\mathbb F_p}(T)$. C'est pour pouvoir calculer les $t_{p^r}$ dans le développement en série de cette fraction rationnelle, avec la convention d'écriture :
$$
L_{E/\mathbb F_p}(T) = 1 + t_p T + t_{p^2} T^2 + t_{p^3} T^3 + \cdots
$$
Détermination à partir de $t_p$ bien entendu i.e. à partir de $p+1 - \#E(\mathbb F_p)$.

Mais bien sûr, $t_{p^r}$ n'est PAS la trace de $E$ sur $\mathbb F_{p^r}$ i.e. $t_{p^r}$, ce n'est PAS $p^r + 1 - \#E(\mathbb F_{p^r})$.

On a vu le même phénomène pour un corps de nombres $K$ et sa fonction $\zeta$ :
$$
\zeta_K(s) = \sum_{n \ge 1} a_n n^{-s} = \sum_{I \ne 0} N(I)^{-s}
$$
où $a_n$ est le nombre d'idéaux de $\mathcal O_K$ de norme $n$. On a vu que $a_p$ est le ``nombre de points sur $\mathbb F_p$ du $\Z$-schéma $\mathcal O_K$'' mais $a_{p^r}$ ce n'est PAS ...etc...
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 13:44
avatar
Claude, il manque un $2$ dans la première page du pdf ici

Si $p$ est congru à $3 \pmod{4}$ et si $r = 2s$ alors $E_D(\mathbb{F}_{p^r}) = p^r+1^r - 2 (-p)^s$.

Ce qui explique le $t_{7^2} = - 7$ ... hum, c'est un peu délicat de retrouver les points sur les corps finis ...

Ok, tu viens de répondre avant que je pose la question ;)
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 17:24
@flip flop
Ok pour le 2 oublié sur le scan : je m'en souviens, c'est annoté en rouge sur mon exemplaire papier et je l'avais signalé quelques posts après mais pas facile de s'y retrouver dans les posts.

Je nous fais une petite piqûre de rappel concernant le calcul du nombre de points d'une courbe elliptique rationnelle sur un corps fini à partir de la forme modulaire de comptage.

Et après tout, peut-être que cela pourra t'être utile à l'occasion d'une petite fête ou repas. Tu sais, souvent la conversation glisse vers ``que pensez vous du dernier meeting du candidat untel ?'' ou bien ``que pensez vous de la courbe elliptique untelle ?'' A toi de faire en sorte que cela glisse sur le deuxième sujet. Et tu peux y aller franco, du genre ``que pensez vous de'' :
$$
E : \qquad y^2 = x^3 + x^2 - x
$$
Bien sûr, tu auras préparé ton coup. Celle ci est de conducteur 20 et la forme modulaire de comptage est :
$$
\big( \eta(q^2) \eta(q^{10}) \big)^2 = q \big(P(q^2) P(q^{10})\big)^2 \qquad \hbox {avec} \qquad P(q) = \prod_{n \ge 1} (1 - q^n)
$$
ENTRE NOUS, en planquette :

> Q := RationalField() ;
> QX<X> := PolynomialRing(Q) ;
> Qq<q> := PowerSeriesRing(Q) ;
> precision := 10^2 ;
> AssertAttribute(Qq, "Precision", precision) ;
> EtaProduct := Qq ! ((DedekindEta(q^2) * DedekindEta(q^10))^2) ;
> EtaProduct ;
q - 2*q^3 - q^5 + 2*q^7 + q^9 + 2*q^13 + 2*q^15 - 6*q^17 - 4*q^19 - 4*q^21 + 6*q^23 + q^25 + 4*q^27 + 6*q^29 - 4*q^31 -
    2*q^35 + 2*q^37 - 4*q^39 + 6*q^41 - 10*q^43 - q^45 - 6*q^47 - 3*q^49 + 12*q^51 - 6*q^53 + 8*q^57 + 12*q^59 + 2*q^61
    + 2*q^63 - 2*q^65 + 2*q^67 - 12*q^69 - 12*q^71 + 2*q^73 - 2*q^75 + 8*q^79 - 11*q^81 + 6*q^83 + 6*q^85 - 12*q^87 -
    6*q^89 + 4*q^91 + 8*q^93 + 4*q^95 + 2*q^97 + 6*q^101 + O(q^103)

> E := EllipticCurve([0, 1, 0, -1, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + x^2 - x over Rational Field
> assert Conductor(E) eq 20 ;
> BadPrimes(E) ;
[ 2, 5 ]
> fE := ModularForm(E) ;
> fE ;
q - 2*q^3 - q^5 + 2*q^7 + q^9 + O(q^12)
> EtaProduct - qExpansion(fE, precision) ;
O(q^100)

Et maintenant, tu annonces que tu vas déterminer le nombre de points de $E$ sur $\mathbb F_{p^r}$ SANS TOUCHER à la courbe !! Où $p$ et $r$ sont choisis au hasard par les convives. Trop fort, flip-flop.

Là faut pas que tu te loupes : tu calcules $t_p$ via le coefficient d'indice $p$ du $\eta$-produit puis $\alpha, \overline \alpha$ vérifiant
$$
(X - \alpha)(X - \overline \alpha) = X^2 - t_pX + p \qquad \hbox {ou encore} \qquad
(1 - \alpha T)(1 - \overline \alpha T) = 1 - t_pT + p T^2
$$
Pas d'inquiétude : le discriminant du trinôme est bien strictement négatif (c'est l'inégalité de Hasse).

Et le nombre de points convoité est (via if the author is polite) :
$$
p^r + 1 - (\alpha^r + \overline \alpha^r)
$$

> p := Random(PrimesInInterval(2,precision)) ;
> p ;
73
> tp := Coefficient(EtaProduct,p) ;
> tp ;
2
> 
> K<alpha> := NumberField(X^2 - tp*X + p) ;
> // alpha + alpha' = t_p
> alpha_conjugate := tp - alpha ;
> 
> r := 10 ;
> p^r ;
4297625829703557649
> HowManyPoints := p^r + 1 - (alpha^r + alpha_conjugate^r) ;
> HowManyPoints ;
4297625831309339232
> #ChangeRing(E, GF(p^r)) ;
4297625831309339232

Tu me diras ...



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/04/2017 18:12 par claude quitté.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 18:06
avatar
Un autre tour de magie smiling bouncing smiley

$t_{17} = -6$, on considère les racines réciproques de $1+6X+17X^2$ donc $\alpha= \frac{17}{-3-2i\sqrt{2}}$ .... $\alpha^5+\overline{\alpha}^5 := 1914$ .... Bref : La courbe $y^2 = x^3 + x^2 - x$ possède $17^5+1- 1914$ points sur $\mathbb{F}_{17^5}$ grinning smiley

E := EllipticCurve([0, 1, 0, -1, 0]) ; E;
p:=17;r:=5;
#ChangeRing(E, GF(p^r)) ;
                                               1417944


J'ai quand même un peu de mal à croire que ça prend tout en charge ce truc drinking smiley
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 18:48
Et si on te demande le nombre de points sur $\mathbb F_{5^2}, \mathbb F_{5^3}, \mathbb F_{5^4}, \cdots$ ?
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 19:01
avatar
Du coup, on peut faire ça (en théorie) avec toutes les courbes elliptiques. C'est marrant j'étais en terminal et la prof de spécialité maths nous avait dit de regarder un reportage sur Arte sur le théorème de Fermat, le lendemain on lui avait demandé de nous expliquer grinning smiley

Pour la mauvaise réduction : On va chercher le $t_2$ ou $t_5$ et même principe (c'est un équation de degré $1$ ou $0$), un petit coup de "if the author is polite" ...

Pour $2^r$, je pense que c'est simplement $2^r+1$.

Et pour $5^r$, je pense que c'est $5^r+1-(-1)^r$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 17/04/2017 19:03 par flipflop.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
17 avril 2017, 20:46
Oui, on peut faire la construction $E \mapsto f_E(q) = \sum_{n \ge 1} t_n q^n$ pour toute courbe elliptique rationnelle mais il est impératif d'utiliser un modèle $\Z$-minimal.

> Ebig := EllipticCurve([0, 10^10]) ;  
> Ebig ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 10000000000 over Rational Field
> Discriminant(Ebig) ;
-43200000000000000000000
> Factorization(Z!Discriminant(Ebig)) ;
[ <2, 24>, <3, 3>, <5, 20> ]
> E, phi := MinimalModel(Ebig) ;  <--------------- ** ICI **
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 + y = x^3 + 156 over Rational Field
> Discriminant(E) ;                  
-10546875
> Factorization(Z!Discriminant(E)) ;   
[ <3, 3>, <5, 8> ]

> Conductor(E) ;
225

Le fait que $f_E$ soit un habitant de $S_2(\Gamma_0(N))$ (où $N$ est le conducteur de $E$, notion difficile pour moi à définir) constitue le théorème de Wiles, Breuil, Conrad, Diamond, Taylor, ex-conjecture de Shimura-Taniyama-Weil.

Ok pour les deux premiers de mauvaise réduction : $p=2$ (réduction additive i.e. de type cusp) et $p = 5$ (réduction de type node unsplit). Mais comment as tu fait pour obtenir le type de réduction ? A la main ?
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 04:43
avatar
Claude, j'ai retrouvé le $2$, c'est ici

Sinon, j'ai utilisé la forme modulaire :

> EtaProduct ;
q - 2*q^3 - q^5 + 2*q^7 + q^9 + 2*q^13 + 2*q^15 - 6*q^17 - 4*q^19 - 4*q^21 + 6*q^23 + q^25 + 4*q^27 + 6*q^29 - 4*q^31 -
    2*q^35 + 2*q^37 - 4*q^39 + 6*q^41 - 10*q^43 - q^45 - 6*q^47 - 3*q^49 + 12*q^51 - 6*q^53 + 8*q^57 + 12*q^59 + 2*q^61
    + 2*q^63 - 2*q^65 + 2*q^67 - 12*q^69 - 12*q^71 + 2*q^73 - 2*q^75 + 8*q^79 - 11*q^81 + 6*q^83 + 6*q^85 - 12*q^87 -
    6*q^89 + 4*q^91 + 8*q^93 + 4*q^95 + 2*q^97 + 6*q^101 + O(q^103)

de ton message d'avant

On a $t_2 = 0$ donc la fonction zéta ... $Z(E,\mathbb{F}_2) = \frac{1}{(1-T)(1-2T)}$ et "if the author is polite" (à "l'envers").
De même, pour $t_5 := -1$ donc $Z(E,\mathbb{F}_2) = \frac{1+T}{(1-T)(1-5T)}$ ... $\# (E(\mathbb{F}_5)) = 5^r+1^r-(-1)^r$.

Je me suis senti un peu mal à faire ça ! Car là, on (enfin moi) a jamais travaillé sur cette courbe elliptique (elle n'est pas sous la forme de Koblitz) !



Mais on peut regarder directement sur la réduction de la courbe, c'est un bon exercice pour réviser ce que tu m'as appris :

On considère la courbe $y^2 = x^3+x^2-x$ sur le corps $\mathbb{F}_{2^r}$. Ici, on translate $X = x-1$ et $Y=y-1$ (car y'a un point singulier en $(1,1)$. Et on obtient comme nouvelle équation : $Y^2 = X^3$. Comme la translation est bien une bijection, on a bien le même nombre de points pour les deux courbes (attention on regarde en projectif).

Donc, on cherche le nombre de points sur $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_{2^r})$ de la courbe $ZY^2=X^3$.

Faisant, $Z=0$, on a un unique point à l'infini $(0 : 1 : 0)$.
Faisant, $Z=1$, il s'agit de trouver le nombre $N_r$ de $(X,Y) \in \mathbb{F}_{2^r}$ tel que $Y^2=X^3$. Alors,
$$N_r := 1 + \sum_{a \in \mathbb{F}_{2^r}^\star} \# [Y^2 = a^3 ] = 1 +\sum_{a \in \mathbb{F}_{2^r}^\star} \# [(a^{-1}Y)^2 = a ]= 1 +\sum_{a \in \mathbb{F}_{2^r}^\star} \# [T^2 = a ] = \sum_{a \in \mathbb{F}_{2^r}} \# [T^2 = a ]$$

Mais pour chaque $a \in \mathbb{F}_{2^r}$, il y a une unique solution à l'équation $T^2=a$ dans $\mathbb{F}_{2^r}$ elle est donnée par $a^{2^{r-1}}$ (Frobenius, enfin Lagrange et la caractéristique $2$).

Finalement, on a bien $N_r = 2^r +1^r$ ... et ça colle !

Dans un autre message j'avais utilisé les caractères ici

Je fais $5$ juste après après mais c'est un terrain un peu glissant grinning smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/04/2017 05:29 par flipflop.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 06:55
avatar
Bon, j'ai toujours les mêmes soucis avec le paramétrage (y'a un truc qui me chiffonne, mais je ne sais pas quoi).

On souhaites évaluer $N_r -1 := \# \{y^2=x^3+x^2-x \}$ sur le corps $k := \mathbb{F}_{5^r}$. (Je ne regarde que la partie affine, mais il y a un point à l'infini d'où le $-1$).

Ici, on fait le changement de variable $X=x-2$ et $Y=y$. On obtient :
$$
N_r -1:= \# \{X^3=-2X^2+Y^2 \}
$$
En notant, $C$ la courbe d'équation $X^3=-2X^2+Y^2$, on a un paramétrage $$ \mathbb{A}^1(k) \setminus \{ t^2=2\}_k \to C \setminus \{(0,0)\} \\
t \mapsto (t^2-2, t(t^2-2))$$

Finalement, on obtient :
$$
N_r = 1+5^r+1 - \# \{ t^2=2\}_k
$$
et finalement, on tombe bien sur :
$$N_r = 5^r +1 -(-1)^r$$
Car $ \# \{ t^2=2\}_k = 1+(-1)^r$,



Modifié 1 fois. Dernière modification le 18/04/2017 07:07 par flipflop.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 09:49
@flip flop
En ce qui concerne les deux premiers de mauvaise réduction $p=2$ et $p=5$ (pour la courbe elliptique de conducteur 20), je suis d'accord sur tout. Je ne comprends pas ce qui te chiffonne pour $p=5$.

Des petites remarques cependant (peut-être en ai je déjà parlé ``autrefois'', tant pis). Soit une équation de Weierstrass longue, en affine :
$$
y^2 + a_1xy + a_3y = x^3 + a_2x^2 + a_4x + a_6 \qquad\qquad\qquad \hbox {($\mathrm {poids}(a_i) = i$, $\mathrm {poids}(x) = 2$, $\mathrm {poids}(y) = 3$)}
$$
A quelle condition le point $(0,0)$ est-il un point de la courbe NON lisse ? Cela force $a_6 = 0$ (pour que l'origine soit sur la courbe) puis (dérivées partielles) $a_3 = a_4 = 0$. On se retrouve avec :
$$
y^2 + a_1xy - a_2x^2 = x^3 \qquad\hbox {disons avec} \qquad y^2 + axy + bx^2 = x^3
$$
Donc à droite, le modèle type d'une équation de Weierstrass avec un point (rationnel) singulier qui est l'origine.

C'est ce que à quoi t'ont conduit les changements de variables que tu as réalisés pour $p=2$ et pour $p=5$.

Pour $p=2$, une fois obtenu $y^2 = x^3$ (en affine), on peut se simplifier la vie car de manière universelle, on a le paramètrage (affine) bijectif $t \mapsto (x=t^2, y=t^3)$ d'inverse $(x,y) \mapsto t=y/x$, en convenant que $0/0 = 0$.

Et quand on a $y^2 + axy + bx^2 = x^3$, il faut penser dans sa tête, quitte à faire une extension quadratique du corps de base, à $(y - \lambda_1x)(y - \lambda_2x) = x^3$ ; mais faire attention au fait que les $\lambda_i$ ne sont peut-être pas dans le corps de base. C'est ce qui t'arrive pour $p=5$ et corps de base $\mathbb F_{5^r}$ selon la parité de $r$. Disons que le type de singularité change selon $r$ : il alterne entre node unsplit et node split.

Et de toutes manières, il faut penser à $y = tx$, qui conduit à $t^2x^2 + atx^2 + bx^2 = x^3$ i.e. $x = t^2 + at + b$, ...etc...
Bref, pas grand chose de nouveau sous le soleil.

Note : En magma, il y a ReductionType(E, p) qui te répond "Good" ou "Additive" ou "Split multiplicative" ou "Unsplit multiplicative".



Modifié 1 fois. Dernière modification le 26/04/2017 15:30 par claude quitté.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 10:07
@flip flop
Je ne sais pas comment tu as fait pour t'y retrouver (dans notre m.rdier, je dis notre mais c'est peut-être le mien) en ce qui concerne les fonctions zeta locales de $E_{n^2} : y^2 = x^3 - n^2x$ !! Je fais allusion à ton post [www.les-mathematiques.net]
Bien sûr, dans le cas $p \equiv 1 \bmod 4$, le $\alpha$ dont tu parles dans :
$$
Z(E_{n^2}, p)(T) = {(1 - \alpha T) (1 - \overline\alpha T) \over (1-T)(1- pT)}
$$
est ``celui'' qui vérifie, à $\alpha \leftrightarrow \overline\alpha$ près :
$$
\alpha\,\overline\alpha = p, \qquad\qquad \alpha \equiv \left( {n \over p} \right) \bmod (1+i)^3
$$
Je te parle de cela car j'ai regardé mes notes, mes scans. Totalement inutilisables car la tête dans le guidon avec les sommes de Gauss et de Jacobi, vouloir faire du Hasse-Davenport sans en faire, vouloir faire la totale $y^2 = x^3 - Dx$ au lieu de $y^2 = x^3 - n^2x$, introduction du symbole biquadratique, vouloir jouer au dessus de $\mathbb F_q$ au lieu de $\mathbb F_p$, vouloir passer de $q$ à $q^r$ pour obtenir Hasse Weil ...etc... Bref, pour moi, un véritable m.rdier (bis). Peut-être qu'un jour j'aurais le courage de reprendre cela à tête reposée.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 11:52
avatar
Je ne sais pas pourquoi ça me chiffonne ! C'est pas bien grave, je vais refaire un ou deux exemples et ça ira mieux !

Niveau se retrouver dans le merd.er ... je vais essayer un petit pdf résumé sur ce thème, on verra ce que je retrouve, ce n'est pas gagné grinning smiley
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 11:59
@flipflop :
J'adore tes pdf ! grinning smiley
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 12:01
avatar
Faut que je me motive grinning smiley
Re: Réseaux et courbes elliptiques
18 avril 2017, 22:13
avatar
Question un peu vague :

Si on considère $G := \Gamma_0(20)$ et le diagramme :
$$
\xymatrix { \overline{\mathbb{H}} / G \ar[d] \\ \overline{\mathbb{H}} / \text{PSL}_2(\Z) \simeq \mathbb{P}^1(\C) }
$$
Est-ce qu'on peut s'amuser à récupérer le genre de la courbe du haut avec la formule de Riemann-Hurwitz (on a fait quelques fois quand on s'amusait a faire des quotients de courbes) ?


Si j'ai bien compris (un truc que j'ai lu) on doit tomber sur $1$ ... C'est faisable ?
Re: Réseaux et courbes elliptiques
19 avril 2017, 07:35
@flip flop
Oui, faisable mais du boulot en perspective. Il faut le degré du revêtement i.e. l'indice de $\Gamma_0(N)$ dans $\mathrm {SL}_2(\Z)$ (il y a une formule), le nombre de cusps de $\Gamma_0(N)$ (il y a une formule ...etc...). Plus tard. En attendant [wstein.org]
courbes elliptiques, et le parfum modulaire
19 avril 2017, 12:51
avatar
Hello Claude, toujours le petit lien qui va bien thumbs down

Petit décrassage de dénombrement, j'ai voulu faire le premier exercice en bas de la page que tu as pointé. Je fais un cas particulier, lorsque $N=p$ un premier et on verra ensuite pour la généralisation.

L'objectif est de calculer l'indice de $\Gamma_0(p)$ dans $\text{SL}_2(\Z)$.

On commence par définir le morphisme de réduction $\text{Red} : \text{SL}_2(\Z) \to \text{SL}_2(\Z / p \Z)$. Celui-ci est surjectif (j'ai déjà vu dans une épreuve d'agreg, mais quand ???).

Alors on définit $\Gamma(p) := \text{Ker}(\text{Red})$ de sorte que l'indice de $\Gamma(p)$ dans $\text{SL}_2(\Z)$ est le cardinal de $\text{SL}_2(\Z / p \Z)$. Et pour trouver ce cardinal, on passe par $\text{GL}_2$ et le noyau du déterminant :
$$
\left|\frac{\text{SL}_2(\Z)}{\Gamma(p)} \right| = \frac{(p^2-1)(p^2-p)}{(p-1)}
$$
Jusque ici tout va bien.

Ensuite, on définit $$\Gamma_0(p) := \left\{ M \in \text{SL}_2(\Z), \ \text{Red}(M) =
\begin{pmatrix}
\star&\star\\
0&\star
\end{pmatrix}
\right\}$$
Bon là je n'aime pas trop cette définition, donc je fais un petit truc avec.

Je note $T := \left\{ \begin{pmatrix}
\star&\star\\
0&\star
\end{pmatrix}
\right\}$ l'ensemble des matrices triangulaires inversibles de $\text{SL}_2(\Z / p \Z)$. Alors $T$ est un sous-groupe distingué (Non, merci Claude) de $\text{SL}_2(\Z / p \Z)$. Ce qui m'autorise à considérer le diagramme :
$$
\xymatrix { \text{SL}_2(\Z) \ar[r] \ar[rd] & \text{SL}_2(\Z / p \Z) \ar[d] \\
& \text{SL}_2(\Z / p \Z) / T }
$$
Et $\Gamma_{0}(p)$ est le noyau du morphisme surjectif $\text{SL}_2(\Z) \to \text{SL}_2(\Z / p \Z) / T$.
Finalement,
$$
\left|\frac{\text{SL}_2(\Z)}{\Gamma_0(p)} \right| = \# \text{SL}_2(\Z / p \Z) / T = \frac{(p^2-1)(p^2-p)}{(p-1)p(p-1)} = p+1
$$
Ouf, on trouve bien le $\mu_0(p)$ du lien. Je pense que c'est correct ?



Modifié 2 fois. Dernière modification le 25/04/2017 09:00 par flipflop.
Re: courbes elliptiques, et le parfum modulaire
21 avril 2017, 15:34
avatar
Question vague :

Si on considère l'action de $\text{SL}_2(\Z)$ par homographie sur $\mathbb{P}^1(\Q) = \Q \cup \{ \infty \}$.
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} \star \tau := \frac{a\tau+b}{c\tau+b}
$$ avec la convention habituelle pour $\tau = \infty$.

Cette action est transitive, par exemple pour envoyer $\infty$ sur $a \over c$ ($a$ et $c$ premier entre eux) , il suffit de considérer la matrice $N := \begin{pmatrix}
a & -v \\
c & u
\end{pmatrix}$ où $au+cv = 1$ (Bézout).



Par contre, si je considère le sous-groupe $\Gamma_0(N) := \left \{ \begin{pmatrix}

a&b\\

c&d

\end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\Z), \, \mid c = 0 \pmod{N} \right\}$ (prenons $N=p$ un premier si ça simplifie les choses).

Combien d'orbites pour l'action de $\Gamma_0(N)$ sur $\mathbb{P}^1(\Q)$ ?

Je pense pouvoir prouver que le nombre d'orbites est fini (car $\Gamma_0(N)$ est d'indice fini dans $\text{SL}_2(\Z)$). Mais je n'ai pas d'idée pour faire un dénombrement précis !



Modifié 2 fois. Dernière modification le 22/04/2017 11:36 par flipflop.
Re: courbes elliptiques, et le parfum modulaire
21 avril 2017, 17:33
Salut flipflop.

Je n'y connais rien à ces histoires mais tu trouveras peut-être des réponses dans le Hellegouarch, "Invitation aux Mathématiques de Fermat-Wiles".

Bon courage !
Réseaux et courbes elliptiques
21 avril 2017, 20:14
avatar
Hello GR,

La forme ? Je vais regarder un peu !

Sinon, $N=p$ premier ... $\infty$ s'envoie sur les ${a \over c}$ a condition que $p$ divise $c$.
Re: Réseaux et courbes elliptiques
22 avril 2017, 11:20
@flipflop :

Est-ce que tu connais nombre d'orbites si $N=2$ ?
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 151 328, Messages: 1 538 046, Utilisateurs: 28 264.
Notre dernier utilisateur inscrit nadiousfr@yahoo.fr.


Ce forum
Discussions: 19 952, Messages: 201 606.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page