Calcul cohomologique
dans Algèbre
Bonjour à tous,
Je voudrais apprendre à calculer les groupes d'homologie et de cohomologie de n'importe quelle figure géométrique ( cercle, tore, bouteille de Klein, grassmanniennes, triangles, rectangles , parallélépipède, demi sphère, disque, droite, plan, polyèdres ) ou de n'importe quel objet algébrique ( groupe symétrique, groupe de Coxeter, groupe de Klein ... etc ) ou d'objets topologiques ... etc, je pense que j'ai assez de prérequis théoriques concernant la théorie d'homologie et de cohomologie, mais je suis nul quant au calcul effectif lorsqu'on passe aux applications directes sur des cas concrets. Pouvez vous m'aider la dessus svp ?
Par exemple comment calcule t-on la cohomologie d'un cercle ou d'un tore ?
Je voudrais apprendre le maximum d'exemples possible pour me familiariser avec les applications concrètes de cette théorie.
Merci d'avance.
Je voudrais apprendre à calculer les groupes d'homologie et de cohomologie de n'importe quelle figure géométrique ( cercle, tore, bouteille de Klein, grassmanniennes, triangles, rectangles , parallélépipède, demi sphère, disque, droite, plan, polyèdres ) ou de n'importe quel objet algébrique ( groupe symétrique, groupe de Coxeter, groupe de Klein ... etc ) ou d'objets topologiques ... etc, je pense que j'ai assez de prérequis théoriques concernant la théorie d'homologie et de cohomologie, mais je suis nul quant au calcul effectif lorsqu'on passe aux applications directes sur des cas concrets. Pouvez vous m'aider la dessus svp ?
Par exemple comment calcule t-on la cohomologie d'un cercle ou d'un tore ?
Je voudrais apprendre le maximum d'exemples possible pour me familiariser avec les applications concrètes de cette théorie.
Merci d'avance.
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Réponses
Pour le cercle, une 1-cellule, une 0-cellule.
Pour la sphère, une 2-cellule, une 0-cellule.
Pour le tore, une 2-cellule, deux 1-cellules, une 0-cellule.
Pour le plan projectif réel, une 2-cellule, une 1-cellule, une 0-cellule.
Dans chaque cas, expliciter les bords (c'est facile).
Intuitivement on peut se douter de ce qu'est le groupe fondamental "du" cercle: $\mathbb{Z}$.
Et il y a un théorème qui affirme que le premier groupe d'homologie singulière d'un espace topologique (connexe par arcs etc) est l'abélianisé du groupe fondamental.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS:
http://analysis-situs.math.cnrs.fr/Homologie-du-cercle-et-des-spheres.html
@GBZM :
Voici un extrait de ce qui se dit dans le Hatcher :
1 - $ H_n ( X ) = 0 $ if $ X $ is a CW-complex with no $ n $ - cells.
2 - More generally, if $ X $ is a CW-complex with $ k \ \ n $ - cells, then $ H_n (X) $ is generated by at most $ k $ éléments.
3 - If $ X $ is a CW-complex having no two of its cells in adjacent dimensions, then $ H_n (X) $ is free abelian with basis in one - to - one correspondance with the $ n $ - cells of $ X $.
Pouvez vous m'expliquer le troisième point çi - dessus ? Que signifie le passage : If $ X $ is a CW-complex having no two of its cells in adjacent dimensions ?
Donc,
Pour le cercle $ S^1 $, une 1-cellule, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{S}^1 ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0,1 $
Pour la sphère $ S^2 $, une 2-cellule, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{S}^2 ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0 ,2 $
$ H_1 ( \mathbb{S}^2 ) = 0 $
Pour le tore $ \mathbb{T} $, une 2-cellule, deux 1-cellules, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{T} ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0,2 $
$ H_1 ( \mathbb{T} ) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $
Pour le plan projectif réel $ \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) $, une 2-cellule, une 1-cellule, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0,1, 2 $.
est ce que c'est correct ?
@FdP :
Merci pour le lien, il est très intéressant, c'est exactement ce que je cherche. :-)
Donc,
Un cercle, un triangle, un rectangle, un carré sont deux à deux homéomorphes
Une demi sphère, un disque sont deux à deux homéomorphes
Une sphère, un parallélépipède, un polyèdre, sont deux à deux homéomorphes
Merci à vous deux.
Comment calculer l'homologie de $ \mathbb{R}^n $ pour $ n $ quelconque, d'un disque, d'un polytope, d'un $n$ - simplexe, d'une bouteille de Klein, et d'une Grassmannienne $ \mathbb{G} ( k,n ) $ ?
Merci d'avance.
Pour le tore la décomposition cellulaire est représentée par le premier dessin ci-dessous (avec les identifications données par les lettres et le sens des flèches). Le bord de la 2-cellule est donc $a+b-a-b=0$.
Pour le plan projectif réel, la décomposition cellulaire est représentée par le deuxième dessin. Calcule le bord de la 2-cellule, et refais correctement le calcul d'homologie (tu peux le faire à coefficients dans $\Z$, dans $\Q$, dans $\Z/2\Z$).
Pardon, je pense que tu voulais écrire plutôt : $S^2$, c'est la droite projective complexe, non ?
Pour le plan projectif, j'obtiens comme bord de la $ 2 $ - cellule : $ c + c = 2c $, ce n'est pas ça, non ?
Je ne sais pas calculer explicitement l'homologie.
Pour être franc avec toi, je n'ai jamais lu le Hatcher. Le passage que j'ai cité plus haut m'a été indiqué il y'a quelques semaines par un internaute pour m'aider à comprendre comment on calcule ''généralement'' l'homologie d'un CW- complexe, hormis ça, je n'ai jamais calculé dans ma vie un groupe d'homologie ou de cohomologie. Il va falloir que je lise le Hatcher dès maintenant. Je connais par cœur la théorie, mais quant il s'agit de la pratique, je ne sais pas le faire. Pardon. Peux tu m'aider stp à les calculer meme si c'est stu.pi.de de te demander ça ?
Merci infiniment.
La décomposition cellulaire et les opérateurs de bord que tu calcules te permettent de construire un complexe de chaînes. L'homologie de ce complexe te donne l'homologie de l'objet de départ.
Le module en dimension $n$ du complexe de chaînes est le module libre engendré par les $n$-cellules. Pour le plan projectif réel avec la décomposition cellulaire indiquée, quand on calcule à coefficients dans $\Z$, c'est donc $C_2=\Z$ en dimension $2$, $C_1=\Z$ en dimension $1$, $C_0=\Z$ en dimension $0$. Tu as vu que le morphisme de bord $C_2\to C_1$ est la multiplication par $2$. Le morphisme de bord $C_1\to C_0$ est nul. Il reste à calculer l'homologie du complexe
$$ 0 \longrightarrow C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z\longrightarrow 0 \;.$$
Si la seule chose que savait un élève de la multiplication des entiers naturels est qu'elle est commutative, associative, distributive sur l'addition, Quelle en serait l'utilité puisqu'il serait incapable de calculer de tête $6\times 9$?
A quoi cela sert-il d'apprendre des théories dont on ne peut même pas être sûr qu'elles ne soient pas vides si on n'a aucun exemple sur lequel on sait faire fonctionner ces théories?
Est-ce qu'on peut saucissonner les mathématiques et en consommer seulement un bout qu'on a choisi sans manger le reste? :-D
Ce n'est pas en une heure qu'on apprend les bases de la topologie algébrique à mon humble avis.
C'est au mieux plusieurs mois de travail sérieux et appliqué.
Le cours de maîtrise que j'avais suivi, il y a plus de 20 ans, sur ce sujet m'avait redonné le goût des mathématiques et de l'émerveillement. J'en garde un excellent souvenir. Ne fais pas l'impasse sur le groupe fondamental Pablo.
Un cours qui me semble intéressant:
https://www.math.ens.fr/enseignement/telecharger_fichier.php?fichier=6&usg=AFQjCNG9fMIgMDQwC0uEBaFCjeZYZIVh0Q&cad=rja
Un poly' sur le groupe fondamental uniquement:
http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~tpier758/cours/topa.pdf
Je connais le poly présenté par FdP plus haut, par cœur, je l'ai lu plusieurs fois à plusieurs reprises, il ne contient que de la théorie pure, est ce que vous voyez dans ce cours un passage où on calcule l'homologie et la cohomologie d'un objet géométrique ( cercle, tore, ... etc ) ? non. Il n'y'a que de la théorie dans ce cours. Pour passer à la pratique, il faut faire des TD, parallèlement, ce que je ne peux pas faire moi, car je ne suis pas inscrit dans une fac de mathématiques, mais quant je dis que je connais bien la théorie homologique et cohomologique, je ne vous mens pas, c'est sérieux, je connais la plupart des théories cohomologiques ( de Cech, des faisceaux, de de Rham, singulière, simpliciale, de Lie, de Kotzul que j'ai appris un peu dans l'appendice du livre de Fulton ... etc ), mais quant il s'agit de pratiquer tout cela, je suis incapable de le faire.
Bon, passons maintenant à la suite du message de GBZM :
On arrive à la suite exacte suivante :
$$ 0 \longrightarrow C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z\longrightarrow 0 \;.$$
Donc,
$ H_2 ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathrm{ker} \big( C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \big) / \mathrm{im} \big( 0 \longrightarrow C_2=\Z \big) = 0 / 0 = 0 $
$ H_1 ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathrm{ker} \big( C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z \big) / \mathrm{im} \big( C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \big) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $
$ H_0 ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathrm{ker} \big( C_0=\Z\longrightarrow 0 \big) / \mathrm{im} \big( C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z \big) = \mathbb{Z} / 0 = \mathbb{Z} $
non ?
Par contre, je ne comprends pas bien comment tu as obtenu les flèches : $ \bullet \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} \bullet $ et $ \bullet \stackrel{0}{\longrightarrow} \bullet $ dans la suite : $ 0 \longrightarrow C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z\longrightarrow 0 \;. $
Merci d'avance pour votre éclairage.
Dans ta notation pour l'homologie, tu oublies les coefficients. Or les coeffcieints sont très importants. Pour t'en rendre compte, refais (je te l'ai déjà demandé) le calcul à coeffcients dans $\Q$, dans $\Z/2\Z$.
Tu demandes comment on trouve les morphismes de bord dans le complexe de chaînes. J'ai expliqué que le module qui figure dans le complexe de chaînes en dimension $n$ est le module libre engendré par les $n$-cellules. Tu as toi-même déclaré que le bord de la 2-cellule est $2\times c$, deux fois la 1-cellule. Et maintenant tu viens demander pourquoi le morphisme de bord de $C_2=\Z$ dans $C_1=\Z$ est la multiplication par $2$ ?
Il te reste encore à calculer le bord de la 1-cellule $c$.
Page 126, il y a le calcul des groupes homologie singulière des sphères si on en croit le sommaire.
Si tu connais "par coeur" ce poly' alors ces calculs n'ont plus de secrets pour toi. B-)-
PS:
Les groupes d'homologie/de cohomologie évaluent le fait qu'une certaine suite de morphismes n'est pas exacte.
(c'est un truc "théorique").
Page 156 de ce poly de l'ens est fait le calcul de l'homologie des espaces projectifs sur lequel tu es en train de peiner. Arrête de bluffer, Pablo.
Juste une petite question :
Peut-on calculer l'homologie de toute figure ou objet géométrique dans $ \mathbb{A} $ ? Comment ? est ce qu'on procède comme l'avait proposé FdP : Si on cherche à calculer $ H_k (X, \mathbb{A} ) $ d'un objet géométrique $ X $, on cherche un objet géométrique $ Y $ le plus simple possible qu'on sait calculer son groupe d'homologie $ H_k (Y, \mathbb{A} ) $ telle que : $ Y $ et $ X $ sont homéomorphes, et par conséquent : $ H_k (X, \mathbb{A} ) = H_k (Y, \mathbb{A} ) $ ?. Si oui, si $ Y $ n'existe pas, comment va-t-on faire alors ?
Merci d'avance.
Je me souviens que j'avais visionné plusieurs fois un nombre de vidéos sur le net portant sur la topologie algébrique et présenté par le grand professeur Mathieu Romagny. est ce que vous pouvez m'indiquer le lien internet vers toutes ces vidéos ? J'ai fait une recherche sur le net, mais je n'arrive pas à les trouver.
Merci d'avance.
edit : Poste déplacé de la rubrique : Maths et société, vers la rubrique : Algèbre.
edit : Merci Mathador de m'avoir indiqué ces liens. Je vais les voir tout de suite. Merci. :-)
Pour des TDs de topologie algébrique, tu peux consulter les liens suivants :
http://math.univ-lyon1.fr/~fu/Teaching/TD_TopAlg2012.html
http://math.univ-lyon1.fr/~fu/Teaching/TD_TopAlg2013.html
http://math.univ-lyon1.fr/~fu/Teaching/TD_TopAlg2014.html
Pour les solutions, tu ne trouveras que des indications mais ça peut peut-être t'aider. (ils ont été donnés par un spécialiste de théorie de Hodge ;-))
Malheureusement rien sur la géométrie algébrique.
Tu pourrais lui demander en lui envoyant un courriel.
Bon courage.
Fr. Ch.
Les premiers calculs de groupes d'homologie se font à partir de la vidéo lien2
Toujours dans le cadre de la théorie de l'homologie et de la cohomologie :
Par exemple, pour les variétés topologiques de dimension $ 2 $ ( i.e : Surfaces topologiques ), on peut calculer les groupes d'homologie de toute surface topologique compacte, non ? parce que toute surface compacte est homéomorphe à exactement une des surfaces suivantes :
- La sphère : $ S^2 $.
- La somme connexe de $ g $ tores : $ \mathbb{T}^2 \# \dots \# \mathbb{T}^2 $.
- La somme connexe de $ g $ espaces projectifs : $ \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) \# \dots \# \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) $.
Comment calcule -t-on par exemple : $ H_0 ( \mathbb{T}^2 \# \dots \# \mathbb{T}^2 ) $, $ H_1 ( \mathbb{T}^2 \# \dots \# \mathbb{T}^2 ) $, et $ H_2 ( \mathbb{T}^2 \# \dots \# \mathbb{T}^2 ) $ ?
Merci d'avance.
Je me permets de remonter en surface ce vieux fil qui remonte à plus de deux ans pour vous en poser quelques questions.
Jusqu'à maintenant, et pour faire le bilan de mon auto-apprentissage, on va dire que j'ai bien saisi les idées de ce grand monde qu'est la cohomologie et l'homologie. J'ai poussé plus loin mon apprentissage théorique jusqu'à arriver à la cohomologie motivique. J'ai bien aperçu l'architecture théorique de ce monde là, j'ai meme réussi moi meme à créer une nouvelle cohomologie qui ressemble à l'anneau de Chow en choisissant une stratification très géniale. Si j'aurai l'occasion de vous la présenter un jour, je le ferai.
Mon souhait maintenant, est de faire un effort pour me familiariser avec le calcul des objets cohomologiques. Cela est difficile d'accès pour moi parce que il y'a moins de supports bibliographiques qui permet d'appréhender ce coté là.
Si je réussirai à me familiariser avec le calcul de la cohomologie cellulaire pour les espaces sans structures, et la cohomologie des groupes qui sont des objets à structures algébriques. Je peux savoir calculer toutes les sortes de cohomologies possibles.
S'il vous plaît, pour que je puisse avancer dans ce domaine, je vous propose, et à ceux qui s'y connaissent dans ce domaine de mettre le maximum d'exemples de calcul cohomologique portant sur la cohomologie cellulaire et la cohomologie des groupes. Je vous en serait très reconnaissant.
Merci.