Calcul cohomologique

Merci à vous deux pour ces précisions GBZM et FdP. :-)

@GBZM :

Voici un extrait de ce qui se dit dans le Hatcher :

1 - $ H_n ( X ) = 0 $ if $ X $ is a CW-complex with no $ n $ - cells.
2 - More generally, if $ X $ is a CW-complex with $ k \ \ n $ - cells, then $ H_n (X) $ is generated by at most $ k $ éléments.
3 - If $ X $ is a CW-complex having no two of its cells in adjacent dimensions, then $ H_n (X) $ is free abelian with basis in one - to - one correspondance with the $ n $ - cells of $ X $.

Pouvez vous m'expliquer le troisième point çi - dessus ? Que signifie le passage : If $ X $ is a CW-complex having no two of its cells in adjacent dimensions ?

Donc,
Pour le cercle $ S^1 $, une 1-cellule, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{S}^1 ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0,1 $
Pour la sphère $ S^2 $, une 2-cellule, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{S}^2 ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0 ,2 $
$ H_1 ( \mathbb{S}^2 ) = 0 $
Pour le tore $ \mathbb{T} $, une 2-cellule, deux 1-cellules, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{T} ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0,2 $
$ H_1 ( \mathbb{T} ) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $
Pour le plan projectif réel $ \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) $, une 2-cellule, une 1-cellule, une 0-cellule.
$ H_i ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathbb{Z} $ pour $ i = 0,1, 2 $.

est ce que c'est correct ?

@FdP :

Merci pour le lien, il est très intéressant, c'est exactement ce que je cherche. :-)
Donc,
Un cercle, un triangle, un rectangle, un carré sont deux à deux homéomorphes
Une demi sphère, un disque sont deux à deux homéomorphes
Une sphère, un parallélépipède, un polyèdre, sont deux à deux homéomorphes

Merci à vous deux.

Comment calculer l'homologie de $ \mathbb{R}^n $ pour $ n $ quelconque, d'un disque, d'un polytope, d'un $n$ - simplexe, d'une bouteille de Klein, et d'une Grassmannienne $ \mathbb{G} ( k,n ) $ ?

Merci d'avance.

@GBZM :

GBZM a écrit:

Ça serait aussi le cas pour tous les espaces projectifs complexes ($S^1$, c'est la droite projective complexe).

Pardon, je pense que tu voulais écrire plutôt : $S^2$, c'est la droite projective complexe, non ?

Pour le plan projectif, j'obtiens comme bord de la $ 2 $ - cellule : $ c + c = 2c $, ce n'est pas ça, non ?

Je ne sais pas calculer explicitement l'homologie.
Pour être franc avec toi, je n'ai jamais lu le Hatcher. Le passage que j'ai cité plus haut m'a été indiqué il y'a quelques semaines par un internaute pour m'aider à comprendre comment on calcule ''généralement'' l'homologie d'un CW- complexe, hormis ça, je n'ai jamais calculé dans ma vie un groupe d'homologie ou de cohomologie. Il va falloir que je lise le Hatcher dès maintenant. Je connais par cœur la théorie, mais quant il s'agit de la pratique, je ne sais pas le faire. Pardon. Peux tu m'aider stp à les calculer meme si c'est stu.pi.de de te demander ça ?

Merci infiniment.

@GBZM, @FdP, @Poirot :

Je connais le poly présenté par FdP plus haut, par cœur, je l'ai lu plusieurs fois à plusieurs reprises, il ne contient que de la théorie pure, est ce que vous voyez dans ce cours un passage où on calcule l'homologie et la cohomologie d'un objet géométrique ( cercle, tore, ... etc ) ? non. Il n'y'a que de la théorie dans ce cours. Pour passer à la pratique, il faut faire des TD, parallèlement, ce que je ne peux pas faire moi, car je ne suis pas inscrit dans une fac de mathématiques, mais quant je dis que je connais bien la théorie homologique et cohomologique, je ne vous mens pas, c'est sérieux, je connais la plupart des théories cohomologiques ( de Cech, des faisceaux, de de Rham, singulière, simpliciale, de Lie, de Kotzul que j'ai appris un peu dans l'appendice du livre de Fulton ... etc ), mais quant il s'agit de pratiquer tout cela, je suis incapable de le faire.

Bon, passons maintenant à la suite du message de GBZM :
On arrive à la suite exacte suivante :
$$ 0 \longrightarrow C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z\longrightarrow 0 \;.$$
Donc,
$ H_2 ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathrm{ker} \big( C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \big) / \mathrm{im} \big( 0 \longrightarrow C_2=\Z \big) = 0 / 0 = 0 $
$ H_1 ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathrm{ker} \big( C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z \big) / \mathrm{im} \big( C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \big) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} $
$ H_0 ( \mathbb{P}^2 ( \mathbb{R} ) ) = \mathrm{ker} \big( C_0=\Z\longrightarrow 0 \big) / \mathrm{im} \big( C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z \big) = \mathbb{Z} / 0 = \mathbb{Z} $
non ?
Par contre, je ne comprends pas bien comment tu as obtenu les flèches : $ \bullet \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} \bullet $ et $ \bullet \stackrel{0}{\longrightarrow} \bullet $ dans la suite : $ 0 \longrightarrow C_2=\Z \stackrel{\cdot\times 2}{\longrightarrow} C_1=\Z \stackrel{0}{\longrightarrow} C_0=\Z\longrightarrow 0 \;. $

Merci d'avance pour votre éclairage.

Non, aillez sur page : $ 156 $, et regardez si on calcule réellement l'homologie des espaces projectifs. De meme pour la page : $ 126 $ qui n'utilise pas la meme méthode que GBZM, elle utilise Mayer Vietoris. Mais, je ne me souviens pas de ce qui est écrit sur ce cours à la lettre. Au cours de mon apprentissage, je me suis concentré uniquement sur le cours, et non sur les exemples et sur les exercices. 8-)

D'accord, ce n'est pas grave. 8-)
Juste une petite question :
Peut-on calculer l'homologie de toute figure ou objet géométrique dans $ \mathbb{A} $ ? Comment ? est ce qu'on procède comme l'avait proposé FdP : Si on cherche à calculer $ H_k (X, \mathbb{A} ) $ d'un objet géométrique $ X $, on cherche un objet géométrique $ Y $ le plus simple possible qu'on sait calculer son groupe d'homologie $ H_k (Y, \mathbb{A} ) $ telle que : $ Y $ et $ X $ sont homéomorphes, et par conséquent : $ H_k (X, \mathbb{A} ) = H_k (Y, \mathbb{A} ) $ ?. Si oui, si $ Y $ n'existe pas, comment va-t-on faire alors ?
Merci d'avance.

Bonjour à tous,

Je me permets de remonter en surface ce vieux fil qui remonte à plus de deux ans pour vous en poser quelques questions.
Jusqu'à maintenant, et pour faire le bilan de mon auto-apprentissage, on va dire que j'ai bien saisi les idées de ce grand monde qu'est la cohomologie et l'homologie. J'ai poussé plus loin mon apprentissage théorique jusqu'à arriver à la cohomologie motivique. J'ai bien aperçu l'architecture théorique de ce monde là, j'ai meme réussi moi meme à créer une nouvelle cohomologie qui ressemble à l'anneau de Chow en choisissant une stratification très géniale. Si j'aurai l'occasion de vous la présenter un jour, je le ferai.
Mon souhait maintenant, est de faire un effort pour me familiariser avec le calcul des objets cohomologiques. Cela est difficile d'accès pour moi parce que il y'a moins de supports bibliographiques qui permet d'appréhender ce coté là.
Si je réussirai à me familiariser avec le calcul de la cohomologie cellulaire pour les espaces sans structures, et la cohomologie des groupes qui sont des objets à structures algébriques. Je peux savoir calculer toutes les sortes de cohomologies possibles.
S'il vous plaît, pour que je puisse avancer dans ce domaine, je vous propose, et à ceux qui s'y connaissent dans ce domaine de mettre le maximum d'exemples de calcul cohomologique portant sur la cohomologie cellulaire et la cohomologie des groupes. Je vous en serait très reconnaissant.

Merci.