Groupe isomorphe à un sous-groupe.
Bonjour,
Une question me tauraude depuis un bon moment, je devine qu'elle est assez simple mais je n'arrive pas vraiment à y répondre
Est-ce qu'il existe un groupe qui soit isomorphe à un de ses sous-groupe ? (évidemment différent du groupe lui-même ).
Intuitivement je dirais non mais qui sait ?.
Une question me tauraude depuis un bon moment, je devine qu'elle est assez simple mais je n'arrive pas vraiment à y répondre
Est-ce qu'il existe un groupe qui soit isomorphe à un de ses sous-groupe ? (évidemment différent du groupe lui-même ).
Intuitivement je dirais non mais qui sait ?.
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Réponses
Milles mercis !
Un groupe $G$ est dit co-hopfien si tout morphisme injectif $G \hookrightarrow G$ est surjectif. De tels groupes existent (comme les $\mathbb{Z}^n$), mais il me semble qu'au final assez peu de groupes vérifient cette condition. D'autres exemples sont $\mathbb{Q}$ qui contient $n \mathbb{Q}$ (à première vue, un groupe abélien divisible ne semble jamais co-hopfien) et le groupe libre $\mathbb{F}_n= \langle a_1, \ldots, a_n \mid \ \rangle$ qui contient $\langle a_1^{m_1}, \ldots, a_n^{m_n} \rangle$ (et plus généralement, n'importe quel groupe d'Artin à angles droits). Par contre, il existe beaucoup d'exemples de groupes hopfiens (ie., tout morphisme surjectif est nécessairement injectif). Cette classe inclut tous les groupes résiduellement finis.