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Groupe isomorphe à un sous-groupe.

Envoyé par Ottman 
Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
avatar
Bonjour,
Une question me tauraude depuis un bon moment, je devine qu'elle est assez simple mais je n'arrive pas vraiment à y répondre
Est-ce qu'il existe un groupe qui soit isomorphe à un de ses sous-groupe ? (évidemment différent du groupe lui-même ).
Intuitivement je dirais non mais qui sait ?.
Re: Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
Un tel groupe est forcément infini, et c'est facile d'en trouver un infini. Ex : le groupe additif des suites de nombres réels, et son sous-groupe strict formé des suites dont le premier terme est $0$
Re: Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
avatar
Wooo ! GBZM je te dois un sacré moment d'étonnement.

Milles mercis !
Re: Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
Ou plus simplement, $\mathbb{Z}$ et n'importe lequel de ses sous-groupes non trivial.
Re: Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
avatar
Il y a aussi des exemples un peu bêtes comme prendre un ensemble infini $X$, un groupe non trivial $G$, puis poser $H= \bigoplus\limits_{x \in X} G$. Pour tout sous-ensemble $Y \subset X$ de même cardinal que $X$, le sous-groupe $\bigoplus\limits_{x \in Y} G$ de $H$ lui est isomorphe.
Re: Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
Seirios, n'est-ce pas l'exemple que j'ai donné (avec $G= \R$, $X=\N$, $Y=\N\setminus\{0\}$) ?
Re: Groupe isomorphe à un sous-groupe.
l’an passé
avatar
Effectivement. En fait, j'ai regardé ton message trois fois, et j'y ai lu trois choses différentes grinning smiley Du coup, j'ajoute un peu de matière.

Un groupe $G$ est dit co-hopfien si tout morphisme injectif $G \hookrightarrow G$ est surjectif. De tels groupes existent (comme les $\mathbb{Z}^n$), mais il me semble qu'au final assez peu de groupes vérifient cette condition. D'autres exemples sont $\mathbb{Q}$ qui contient $n \mathbb{Q}$ (à première vue, un groupe abélien divisible ne semble jamais co-hopfien) et le groupe libre $\mathbb{F}_n= \langle a_1, \ldots, a_n \mid \ \rangle$ qui contient $\langle a_1^{m_1}, \ldots, a_n^{m_n} \rangle$ (et plus généralement, n'importe quel groupe d'Artin à angles droits). Par contre, il existe beaucoup d'exemples de groupes hopfiens (ie., tout morphisme surjectif est nécessairement injectif). Cette classe inclut tous les groupes résiduellement finis.
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