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Théorie des motifs

Envoyé par Pablo_de_retour 
Théorie des motifs
il y a deux années
Bonsoir à tous,

A la page $ 17/18 $ du pdf ci-joint, on définit un foncteur $ \mathcal{R}_{\mathrm{Hodge}} \ : \ \mathop{\mathrm{Mot}}^{ \bullet }{}_{ \mathrm{num} } ( k, \mathbb{Q} ) \to \mathbb{Q} \mathrm{HS} $ sans préciser comment est construit ce foncteur.

Pouvez-vous, s'il vous plaît, m'informer comment est construit ce foncteur, et me dire aussi, pourquoi la conjecture de Hodge est équivalente au fait que $ \mathcal{R}_{ \mathrm{Hodge} } $ est ''fully faithfull'' ?

Merci d'avance.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Thierry POMA.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ihes.pdf (217.9 KB)
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Un peu d'aide svp. smiling smiley
Merci.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
avatar
non Pablo
un bon travailleur(euse) travaille seul
et sache qu'une travailleuse m'a dit un jour
dans la vraie vie on travaille toujours seul

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
J'ai largement pas le niveau pour t'aider mais as-tu essayé de chercher en ligne « Hodge conjecture fully faithful ». On trouve par exemple [mathoverflow.net] « Now taking cohomology gives a functor from the category of smooth projective varieties to this latter category ». Est-ce que ça t'aide ? (je sais même pas de quoi je parle, haha)
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Bonsoir,

Champ-Pot-Lion :
Le lien que tu as mis ne m'a pas beaucoup aidé, et je ne trouve rien sur Google. Google ne m'aide pas non plus hélas. smiling smiley

Juste une petite question si je peux me permettre :

Si $ ( \mathcal{C} , \oplus , \otimes ) $ est une catégorie Tannakienne. Comment trouver un invariant $ \mathrm{inv} : ( \mathcal{C} , \oplus , \otimes ) \to ( \mathbb{C} , + , \times ) $ telle que $ \mathrm{inv} $ préserve les structures : $ \oplus , \otimes $ et $ + , \times $ ?
On peut remarquer que si on restreint $ \mathbb{C} $ à $ \mathbb{N} $, on peut simplement considérer $ \mathrm{inv} = \mathrm{dim} $, la dimension des objets de $ \mathcal{C} $ si $ \mathcal{C} $ est la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie par exemple.

Merci pour votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Bonsoir,

Juste une petite question si je peux me permettre :

On sait que le motive de Lefschetz $ \mathbb{L} $ s'identifie à $ H^2 ( \mathbb{P}^1 , \mathbb{Q} ) $. A quoi correspond l'inverse du motive de Lefschetz $ \mathbb{L}^{-1} $ ( i.e : motive de Tate ) par rapport à $ \otimes $ dans la catégorie des $ \mathbb{Q} $ - structures de Hodge ? Comment on le construit ?

Merci d'avance.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Ce que je pense, c'est que : $ \mathrm{dim} \ H^2 ( \mathbb{P}^1 , \mathbb{Q} ) = 1 $, donc : $ \mathbb{L} $ correspond à $ H^{2} ( \mathbb{P}^1 , \mathbb{Q} ) = \mathbb{Q} $ par le foncteur de réalisation des motives, et donc, puisque : $ \mathbb{L} \otimes \mathbb{L}^{-1} = \mathbb{I} $, et $ \mathbb{I} $ correspond à $ \mathbb{Q} $, alors, il me semble que : $ \mathbb{L}^{-1} $ correspond aussi à $ \mathbb{Q} $ puisque : $ \mathbb{L} \otimes \mathbb{L}^{-1} = \mathbb{I} $ correspond à $ \mathbb{Q} \otimes \mathbb{Q} = \mathbb{Q} $, non ? mais, si c'est le cas : $ \mathbb{L} = \mathbb{L}^{-1} $. Ce qui est faux à mon avis, non ?
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Voici la réponse que je reçois d'un Monsieur sur un autre forum :

Réponse :

... So here is a recap of how the category of motives is constructed :

$ \ \ \ \bullet \ \ \ $ First consider the category $\mathcal{V}_k$ of smooth projective varieties over $k$.
$ \ \ \ \bullet \ \ \ $ Add morphisms to this category by adding all correspondances.
$ \ \ \ \bullet \ \ \ $ Add formal kernel and images of projectors.
$ \ \ \ \bullet \ \ \ $ The motive of $\mathbb{P}^1$ then decomposes as $\mathbb{Q}\oplus\mathbb{L}$. Inverse $\mathbb{L}$ for the tensor product.

The last two steps are universal constructions. This means that to define a monoidal functor $Mot_\sim(k)\rightarrow \mathcal{A}$, we just need a monoidal functor $R$ from the category of correspondance to $\mathcal{A}$ as long as $\mathcal{A}$ has kernels and images of projectors and such that $R(\mathbb{L})$ is invertible in $\mathcal{A}$.

And this is the case for the Hodge realization :

- Start with the functor $\mathcal{V}_k^{op}\rightarrow\mathbb{Q}HS$ which sends $X$ to $\bigoplus_i H^i(X,\mathbb{Q})$ equipped with its canonical Hodge struture.
- If $c\in Corr^0_\sim(X,Y) $, we can define a pullback map $c^*:\bigoplus H^k(Y)\rightarrow\bigoplus H^k(X)$.
- The category of Hodge structure is abelian, in particular, it has kernels and images of projectors. We can extend our realization functor to the category of effective motives. Namely the motive $(h(X),p)$ is sent to $\operatorname{Im}p^*\subset \bigoplus H^k(X)$.
- Finally, the Lefschetz motive $\mathbb{L}$ is sent to $H^2(\mathbb{P}^1)=\mathbb{Z}(-1)$ which is a rank one Hodge structure and is in particular invertible. Hence we can extend the realization functor to the category of motives. Namely it will send $(h(x),p,n)$ to $\operatorname{Im}p^*\subset\bigoplus H^*(X)(-n)$.

It is important to know the following fact about the category of motives :
$$\operatorname{Hom}((h(X),p,m),(h(Y),q,n))=pCorr^{n-m}_\sim(X,Y)q$$
where $Corr^k_\sim(X,Y)=Z^{\operatorname{dim}X+k}(X\times Y)/\sim$.

In particular, $\operatorname{Hom}(\mathbb{Q},(h(X),\operatorname{id},*))=Z^*(X)/\sim$.

On the other hand, in the category of Hodge structure $\operatorname{Hom}(\mathbb{Q},H^*(X))$ are the Hodge classes.

If the Hodge realization functor is full, we can deduce in particular that every Hodge classes comes from an algebraic cycle which is the statement of the Hodge conjecture.

The converse is not more difficult, if the Hodge conjecture hold, every Hodge classes in $H^*(X\times Y)$ is algebraic, but Hodge classes are in $H^*(X\times Y)$ are in bijection with morphisms of Hodge structures $H^*(X)\rightarrow H^*(Y)$. Thus the realization functor is full.

The faithfulness just comes from the choice of the equivalence $\sim$ and has nothing to do with the Hodge conjecture. In fact, the homological equivalence is defined to be the one such that the realization functor is faithful.

Questions :

Il y'a $2$ choses que je n'ai pas saisi dans cette réponse ( Je ne peux pas redemander au meme Monsieur pour ne pas trop l’embêter, vue que je ne le connais pas beaucoup smiling smiley ) :

Voici mes questions :

$ 1) $ Si on dispose des noyaux et images des projecteurs et tels que $ R( \mathbb{L} ) $ est inversible dans $ \mathcal{A} $, pourquoi définir un fonctur monoidal $Mot_\sim(k)\rightarrow \mathcal{A}$ revient à définir un fonctur monoidal $ R : Corr_\sim(k) \rightarrow \mathcal{A} $ ?. Il me semble que c'est dû au passage au quotient par l'une des trois équivalences, numériques, rationnelles, et homologique, puis une nouvelle fois par passage au quotient, on applique la pseudo-abelianization, puis une troisième fois le passage au quotient à fin d'inverser le motive de Lefschetz $ \mathbb{L} $. Mais comment rédiger ça proprement ? Je n'ai jamais fait ça pour les catégories.

$ 2) $ Pourquoi l'équivalence homologique permet de conclure que $ \mathcal{R}_{ \mathrm{Hodge} } $ est faithfull, et cela n'a rien à avoir avecla conjecture de Hodge ?

Merci d'avance pour votre éclairage.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Bonjour Pablo,
Le 1/ est purement formel.
Pour le 2/ l'équivalence homologique te dit exactement que deux cycles sont homologiquement équivalents ssi leurs classes de cycles sont cohomologues.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Merci beaucoup Noname de m'avoir répondu. smiling smiley

Tu peux me rédiger la démonstration qui permet en langage des catégories de passer du foncteur monoidal $ R : Corr_{ \sim } ( k ) \to \mathcal{A} $ au foncteur monoidal quotient $ Mot_{ \sim } ( k ) \to \mathcal{A} $ par passage au quotient pour ne pas l'oublier et ne pas me tromper la prochaine fois ? Je n'ai jamais réalisé ça dans ma vie.

Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Théorie des motifs
il y a deux années
Bonjour à tous,

Pouvez vous me corriger ce que je vais dire dans ce qui suit : ( ? )

Un motif $ (M ; \pi : X \to M ) $ est un objet par lequel toute cohomologie : $ X \to H(X) $ se factorise.
En d'autres termes, $ M $ est un motif si le diagramme suivant commute :
$$ \xymatrix{ X \ar[r]^{\pi} \ar[rd]_{f} & M \ar[d]^{\overline{f}} \\ & H(X) } $$

Merci d'avance. smiling smiley
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