Valuation d'un polynôme
Bonjour,
($\mathbb K$ est un corps)
Je ne comprends pas la remarque ci-dessous. Est-ce qu'il y a une erreur ? Pour moi, si par exemple $r\neq 0$, la valuation de $X-r$ sera toujours $0$.
PS : pour moi la valuation d'un polynôme $P=\sum_{n\in\mathbb N}a_nX^n$ est égale à $+\infty$ si $P=0$ et $\min\{n\in\mathbb N,a_n\neq 0\}$ sinon. Par exemple, la valuation de $X+2$ est $0$, celle de $X^5+X^{92}$ est $5$, celle de $(X-3)^{100}$ est $0$.
($\mathbb K$ est un corps)
Je ne comprends pas la remarque ci-dessous. Est-ce qu'il y a une erreur ? Pour moi, si par exemple $r\neq 0$, la valuation de $X-r$ sera toujours $0$.
PS : pour moi la valuation d'un polynôme $P=\sum_{n\in\mathbb N}a_nX^n$ est égale à $+\infty$ si $P=0$ et $\min\{n\in\mathbb N,a_n\neq 0\}$ sinon. Par exemple, la valuation de $X+2$ est $0$, celle de $X^5+X^{92}$ est $5$, celle de $(X-3)^{100}$ est $0$.
Réponses
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Au mieux, je dirais que la multiplicité de $r$ est l'exposant de $X-r$ dans la décomposition primaire de $P$.
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heu cette histoire de décomposition primaire embrouille un peu la phrase, j'aurais plutot dit :
la multiplicité de la racine $r$ correspond à la $(X-r)$-valuation de $P$ -
On peut dire aussi que la multiplicité de r est la valuation du polynôme P(X+r).
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Ce n'est pas la valuation par rapport à $X$ mais par rapport au facteur $X-r$, i.e. le nombre de fois que $X-r$ divise ton polynôme.
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Merci
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Salut, j'essaie de montrer que la valuation du produit de deux polynômes est égal à la somme des valuations de ces deux polynômes pour moi le produit de valuations serait strictement supérieur ou égal à la somme mais comment prouver l'égalité?
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Peux-tu commencer par définir "valuation d'un polynôme" ?
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C'est $min(k/\alpha _{k}\neq 0)$
k élément de N -
Alors, comment essaies-tu de montrer que la valuation d'un produit de polynômes (non nuls) est égale à la somme des valuations des facteurs ?
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Voilà ce que j'ai écrit.
Si $P=Q=0$ évident car $val(P)=val(Q)=+\infty$.
Si $P$ ou $Q$ sont non nuls, $P= \sum_{k=0}^{n}\alpha _{k} X^{k}$ et $Q= \sum_{k=0}^{n}\beta ^{k} X^{k}$
Si je réalise le produit, notons $c_{\ell}$ le terme d'ordre $\ell $ maintenant il faut que je réalise une condition sur $c_{\ell}$ et les deux valuations de $P$ et $Q$ mais je ne sais pas exactement laquelle. -
Le résultat est plus clair si on pense à la valuation d'un polynôme comme le "numéro" du coefficient non nul de plus petit degré
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Comment montres-tu que le degré d'un produit est la somme des degrés des facteurs ?
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J'ai déjà la démonstration dans mon cours. Est-ce la même chose ? Je veux dire le même principe ?
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Ne vois-tu pas une certaine symétrie entre la définition du degré et celle de la valuation ?
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Oui certainement. Merci.
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