Valuation d'un polynôme

hftmaths · April 2017

Bonjour,

($\mathbb K$ est un corps)

Je ne comprends pas la remarque ci-dessous. Est-ce qu'il y a une erreur ? Pour moi, si par exemple $r\neq 0$, la valuation de $X-r$ sera toujours $0$.

PS : pour moi la valuation d'un polynôme $P=\sum_{n\in\mathbb N}a_nX^n$ est égale à $+\infty$ si $P=0$ et $\min\{n\in\mathbb N,a_n\neq 0\}$ sinon. Par exemple, la valuation de $X+2$ est $0$, celle de $X^5+X^{92}$ est $5$, celle de $(X-3)^{100}$ est $0$. 62440

hftmaths · April 2017

Au mieux, je dirais que la multiplicité de $r$ est l'exposant de $X-r$ dans la décomposition primaire de $P$.

oka · April 2017

heu cette histoire de décomposition primaire embrouille un peu la phrase, j'aurais plutot dit :

la multiplicité de la racine $r$ correspond à la $(X-r)$-valuation de $P$

bisam · April 2017

On peut dire aussi que la multiplicité de r est la valuation du polynôme P(X+r).

oka · April 2017

@hftmaths : je viens de parcourir ton cours et j'ai pas l'impression que la notion de $P$-valuation est introduite. Ton prof voulait sans doute ecrire "exposant" au lieu de "valuation"

Maxtimax · April 2017

@hftmaths : ici c'est valuation au même sens que "valuation $p$-adique". Puisque $K[X]$ est un anneau factoriel, cette définition a un sens

Poirot · April 2017

Ce n'est pas la valuation par rapport à $X$ mais par rapport au facteur $X-r$, i.e. le nombre de fois que $X-r$ divise ton polynôme.

hftmaths · April 2017

Merci

Nounouvch · August 2018

Salut, j'essaie de montrer que la valuation du produit de deux polynômes est égal à la somme des valuations de ces deux polynômes pour moi le produit de valuations serait strictement supérieur ou égal à la somme mais comment prouver l'égalité?

GaBuZoMeu · August 2018

Peux-tu commencer par définir "valuation d'un polynôme" ?

Nounouvch · August 2018

C'est $min(k/\alpha _{k}\neq 0)$
k élément de N

GaBuZoMeu · August 2018

Alors, comment essaies-tu de montrer que la valuation d'un produit de polynômes (non nuls) est égale à la somme des valuations des facteurs ?

Nounouvch · August 2018

Voilà ce que j'ai écrit.
Si $P=Q=0$ évident car $val(P)=val(Q)=+\infty$.
Si $P$ ou $Q$ sont non nuls, $P= \sum_{k=0}^{n}\alpha _{k} X^{k}$ et $Q= \sum_{k=0}^{n}\beta ^{k} X^{k}$
Si je réalise le produit, notons $c_{\ell}$ le terme d'ordre $\ell $ maintenant il faut que je réalise une condition sur $c_{\ell}$ et les deux valuations de $P$ et $Q$ mais je ne sais pas exactement laquelle.