Sous-groupes de $\mathfrak S_5$

Bonsoir Bruno
Puisque personne ne semble vouloir s'y mettre ...
Listons d'abord brutalement les sous-groupes de $\mathfrak S_5$. Si tu le désires on pourra ensuite indiquer comment les dénombrer.

$\bullet~$ 1 sous-groupe trivial : $\{()\}$.
$\bullet~$ 10 sous-groupes d'ordre 2 engendrés par les transpositions, tous conjugués et isomorphes au cyclique $C_2$.
$\bullet~$ 15 sous-groupes d'ordre 2 engendrés par les doubles-transpositions, tous conjugués et isomorphes à $C_2$.
$\bullet~$ 10 sous-groupes d'ordre 3 engendrés par les cycles d'ordre 3, tous conjugués (ce sont les 3-Sylow) isomorphes à $C_3$.
$\bullet~$ 15 sous-groupes d'ordre 4 engendrés par les cycles d'ordre 4, tous conjugués isomorphes à $C_4$.
$\bullet~$ 15 sous-groupes d'ordre 4 isomorphes à $C_2\times C_2$ engendrés par 2 transpositions à support disjoints, tous conjugués entre eux.
$\bullet~$ 5 sous-groupes d'ordre 4 isomorphes à $C_2\times C_2$ engendrés par 2 doubles-transpositions, par exemple $(12)(34)$ et $(13)(24)$ qui commutent, tous conjugués.
$\bullet~$ 6 sous-groupes d'ordre 5 engendrés par les cycles d'ordre 5, tous conjugués (ce sont les 5-Sylow) isomorphes à $C_5$.
$\bullet~$ 10 sous-groupes d'ordre 6 engendrés par les permutations $(abc)(de)$, tous conjugués isomorphes à $C_6$.
$\bullet~$ 10 sous-groupes d'ordre 6, isomorphes à $\mathfrak S_3$ engendrés par un 3-cycle et une transposition dont les supports se rencontrent. Ils sont conjugués entre eux.
$\bullet~$ 10 sous-groupes d'ordre 6, isomorphes à $\mathfrak S_3$ engendrés par un 3-cycle et une double-transposition (les supports se rencontrent nécessairement). Ils sont conjugués entre eux.
$\bullet~$ 15 sous-groupes d'ordre 8, isomorphes à $D_4$ (le diédral à 8 éléments), conjugués entre eux (ce sont les 2-Sylow).
$\bullet~$ 6 sous-groupes d'ordre 10, isomorphes au diédral $D_5$ engendrés par un 5-cycle et une double-transposition (les supports se rencontrent nécessairement).
$\bullet~$ 5 sous-groupes d'ordre 12, isomorphes à $\mathfrak A_4$, conjugués entre eux.
$\bullet~$ 10 sous-groupes d'ordre 12, isomorphes au diédral $D_6$, conjugués entre eux.
$\bullet~$ 6 sous-groupes d'ordre 20, isomorphes au à un produit semi-direct $C_5\rtimes C_4$, engendré par un 5-cycle, par exemple $(12345)$ et un 4-cycle, par exemple $(1243)$. Ils sont conjugués entre eux.
$\bullet~$ 5 sous-groupes d'ordre 24, isomorphes à $\mathfrak S_4$, qui sont les stabilisateurs d'un point parmi $\{1,2,3,4,5\}$.
$\bullet~$ 1 sous-groupe d'ordre 60, isomorphe à $\mathfrak A_5$, qui est donc distingué, et même caractéristique dans $\mathfrak S_5$.
$\bullet~$ 1 groupe d'ordre 120 : $\mathfrak S_5$.

Ce qui fait au total 156 sous-groupes, dont 3 distingués (et caractéristiques), 67 sous-groupes cycliques et 87 abéliens.
On obtient 19 classes de conjugaison de sous-groupes et 7 classes de conjugaison d'éléments.

Alain

Edit en rouge. Les sous-groupes $D_5$ sont engendrés par un 5-cycle et une double transposition. Pardon pour cette erreur signalée par Flipflop http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1449514,1456946#msg-1456946 . AD

Poirot a écrit:

La liste est dans ton livre ?

Oui, sous forme de treillis, page 658 ou page 663. :-)
Alain