Formes bilinéaires et quadratiques
Exercice
Soient $E$ un $\mathbb R $-espace vectoriel de dimension 2, $q$ une forme quadratique sur $E$ de forme polaire $B$
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
Q1/ $B $ est non dégénérée et il existe un vecteur $\vec {e_1} $ non nul tel que $q(\vec{e_1})=0$,
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de $B$ est $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1&0\end{pmatrix} $
Q3/ Il existe une base dans laquelle matrice de $B$ est $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&-1\end{pmatrix} $
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Soient $E$ un $\mathbb R $-espace vectoriel de dimension 2, $q$ une forme quadratique sur $E$ de forme polaire $B$
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
Q1/ $B $ est non dégénérée et il existe un vecteur $\vec {e_1} $ non nul tel que $q(\vec{e_1})=0$,
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de $B$ est $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1&0\end{pmatrix} $
Q3/ Il existe une base dans laquelle matrice de $B$ est $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&-1\end{pmatrix} $
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Réponses
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Oui je comprends je vais ajouter ce que j'ai fait. Je lés [l'ai] essayé mais je suis bloqué en 3 vers 1.
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Si on note $(a,b)$ la base dans laquelle ta matrice est comme dans $3)$, que penses-tu de $q(a+b)$ ?
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Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2, q une forme quadratique sur E de forme polaire B
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
Q1/ B est non dégénérée et il existe un vecteur e1? non nul tel que q(e1?)=0,
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de B est (0110)
Q3/ Il existe une base dans laquelle matrice de B est (100?1)
pour la résolution de l'exercices je vais commencer par Q2
>Q3
donc
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de B est /0 1\
\1 0/
donc posons
A=/ 0 1\
\1 0/ donc le polynôme caractéristique est (x-1)(x+1) scindé et a racine simple donc diagonalisable les valeur propre sont 1 et -1
CONCLUSION Q2--->Q3
Pour Q3--->Q1
on a la matrice /1 0\
\0 ?1/
donc la forme quadratique est q(x)=x1²-x2² avec x=(x1,x2) et donc la forme polaire B(x,y)=x1*y1-x2*y2 donc on a B est non dégenerée
et si e1=(1,1) different de zéro et q(e1) différent de zéro
CONCLUSION Q3---->Q1
MAIS POUR Q1---> Q2 J'ai pas d'idée ::o -
Bon ton dernier message laissait penser que c'était l'implication $3) \Rightarrow 1)$ qui te posait problème.
Pour $1) \Rightarrow 2)$, le premier élément de ta base sera $e_1$. Il te faut pondre un vecteur isotrope $e_2$ tel que $\varphi(e_1,e_2)=1$, où $\varphi$ est la forme bilinéaire symétrique associée à $q$. Pour cela il faut utiliser le fait que $q$ est non dégénérée... Je te laisse chercher. -
je ne trouve pas
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Bon déjà es-tu capable d'expliquer l'existence de $y$ linéairement indépendant de $e_1$ tel que $\varphi(e_1, y) \not= 0$ ?
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si e1=(1,1) et y=(1,0)
B(e1,e2)=1, B est la forme polaire -
Bonjour,
En passant, comment traduis-tu l'hypothèse selon laquelle $B$ est non dégénérée ?
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
le noyau de B est zéro
-
Le vecteur isotrope $e_1$ de $q$ (que tu as faussement spécifié ici) appartient-il à $\ker\,B$ ? Comment traduire cela mathématiquement ?Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Bonjour!
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