Formes bilinéaires et quadratiques

alpha45 · May 2017

Exercice
Soient $E$ un $\mathbb R $-espace vectoriel de dimension 2, $q$ une forme quadratique sur $E$ de forme polaire $B$
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
Q1/ $B $ est non dégénérée et il existe un vecteur $\vec {e_1} $ non nul tel que $q(\vec{e_1})=0$,
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de $B$ est $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1&0\end{pmatrix} $

Q3/ Il existe une base dans laquelle matrice de $B$ est $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0&-1\end{pmatrix} $
.

jacquot · May 2017

Merci pour cet énoncé
Jette un coup d'oeil par ici : 1 et 3.3.2.

Comprends-tu ?

alpha45 · May 2017

Oui je comprends je vais ajouter ce que j'ai fait. Je lés [l'ai] essayé mais je suis bloqué en 3 vers 1.

Poirot · May 2017

Si on note $(a,b)$ la base dans laquelle ta matrice est comme dans $3)$, que penses-tu de $q(a+b)$ ?

alpha45 · May 2017

Soient E un R-espace vectoriel de dimension 2, q une forme quadratique sur E de forme polaire B
Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
Q1/ B est non dégénérée et il existe un vecteur e1? non nul tel que q(e1?)=0,
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de B est (0110)

Q3/ Il existe une base dans laquelle matrice de B est (100?1)

pour la résolution de l'exercices je vais commencer par Q2

>Q3
donc
Q2/ Il existe une base dans laquelle matrice de B est /0 1\
\1 0/
donc posons
A=/ 0 1\
\1 0/ donc le polynôme caractéristique est (x-1)(x+1) scindé et a racine simple donc diagonalisable les valeur propre sont 1 et -1
CONCLUSION Q2--->Q3
Pour Q3--->Q1
on a la matrice /1 0\
\0 ?1/
donc la forme quadratique est q(x)=x1²-x2² avec x=(x1,x2) et donc la forme polaire B(x,y)=x1*y1-x2*y2 donc on a B est non dégenerée
et si e1=(1,1) different de zéro et q(e1) différent de zéro
CONCLUSION Q3---->Q1
MAIS POUR Q1---> Q2 J'ai pas d'idée ::o

Poirot · May 2017

Bon ton dernier message laissait penser que c'était l'implication $3) \Rightarrow 1)$ qui te posait problème.

Pour $1) \Rightarrow 2)$, le premier élément de ta base sera $e_1$. Il te faut pondre un vecteur isotrope $e_2$ tel que $\varphi(e_1,e_2)=1$, où $\varphi$ est la forme bilinéaire symétrique associée à $q$. Pour cela il faut utiliser le fait que $q$ est non dégénérée... Je te laisse chercher.