Des groupes puissants
dans Algèbre
Salut,
Soit $p$ un entier premier, et $G$ un groupe d'ordre $2^p-1$.
A-t-on $G$ abélien ?
Cordialement.
Soit $p$ un entier premier, et $G$ un groupe d'ordre $2^p-1$.
A-t-on $G$ abélien ?
Cordialement.
Réponses
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Salut,
Ces groupes sont peut-être trop puissants ?
Cordialement. -
Quelques éléments de NON-réponse. Pour un entier $N \ge 2$, $\Z/N\Z$ est le seul groupe d'ordre $N$ si et seulement si $N \wedge \varphi(N) = 1$.
Est ce que $(2^p-1) \wedge \varphi(2^p-1) = 1$ ? pour $p$ premier
Quelques mots-clés : $2^p-1$ est-il sans facteur carré ? http://msp.org/pjm/1967/22-3/pjm-v22-n3-p15-p.pdf, nombre premier de Wielferich, sous google.fr ``Squarefree Mersenne numbers'' ...etc...
Autre chose : le titre ``Groupes puissants'' est-il judicieux ? C'est plutôt l'ordre $N = 2^p-1$ ($p$ premier) qui POURRAIT être remarquable. -
@Claude Quitté : N'oublie pas que les énoncés que je propose repose sur le programme de l'agreg, celle de 2017 pas celle de 1950...:-D
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