Des groupes puissants

Quelques éléments de NON-réponse. Pour un entier $N \ge 2$, $\Z/N\Z$ est le seul groupe d'ordre $N$ si et seulement si $N \wedge \varphi(N) = 1$.
Est ce que $(2^p-1) \wedge \varphi(2^p-1) = 1$ ? pour $p$ premier
Quelques mots-clés : $2^p-1$ est-il sans facteur carré ? http://msp.org/pjm/1967/22-3/pjm-v22-n3-p15-p.pdf, nombre premier de Wielferich, sous google.fr ``Squarefree Mersenne numbers'' ...etc...

Autre chose : le titre ``Groupes puissants'' est-il judicieux ? C'est plutôt l'ordre $N = 2^p-1$ ($p$ premier) qui POURRAIT être remarquable.