fonction arithmétique

Elle est "log multiplicative" ($f(mn)=f(m)+f(n)$ si $m$ et $n$ sont premiers entre eux) si on regarde juste le nombre de classes d'isomorphismes de groupes abéliens de cardinal $n$, par le théorème de structure des groupes abéliens finis :-)

Et tu t'es trompé, $f(15) \geq 3$ et $f(6)=3$.

Bah il y a au moins $\mathbb Z/15 \mathbb Z$ et $\mathbb Z/3 \mathbb Z \times \mathbb Z/5 \mathbb Z$, ensuite je ne sais pas où je suis allé inventer un troisième, je ne pense pas qu'il y en ait d'autres (même non abéliens).

Pour $6$ il y a $\mathbb Z/6 \mathbb Z$, $\mathbb Z/2 \mathbb Z \times \mathbb Z/3 \mathbb Z$ et $\mathfrak S_3$ :-)

J'ai oublié mon mandarin, mea culpa... De même pour $15$ du coup !

f(x)Xf(y)=f(x+y)

f est forcément la fonction nulle ou des fonctions de type a puissance x

fluorhydrique écrivait:

---

> Yacoub
> Je ne pense pas que tu travaille
> C'est ton droit mais c'est mon droit de te le dire


Tu travailles, tu maltraites le français autant que les maths.

@Poirot
Je note $g$ la fonction définie par $g(n)$ égal au nombre de classes d'isomorphie de groupes abéliens d'ordre $n$. Pour éviter le conflit avec la fonction $f$ définie dans le post initial. Alors, pour MOI :
$$
g(nm) = g(n)g(m) \qquad \hbox {si $n \wedge m = 1$}
$$
Sketch : si $\Omega$ est un groupe abélien d'ordre $nm$, il existe un unique sous-groupe $\Omega_{(n)}$ de $\Omega$ d'ordre $n$ et il est donné par :
$$
\Omega_{(n)} = \ker (\hbox {multiplication par $n$})
$$
Idem en remplaçant $n$ par $m$. Et bien sûr $\Omega = \Omega_{(n)} \oplus \Omega_{(m)}$.

Attention : il y a un peu de travail pour montrer ce que j'affirme (j'ai mon corrigé sous les yeux).

Dis moi si je vieillis (en lisant mal mon corrigé) ou si pendant des années, j'ai raconté des bêtises à mes étudiant(e)s.

@fluorhydrique
Oui, j'ai bien vu TA définition de $f(n)$. Et j'ai pris la précaution de changer de nom en choisissant $g(n)$.
Et je comprends bien que c'est TA fonction $n \mapsto f(n)$ qui t'intéresse et pas la mienne.

Mais du coup, je ne comprends pas pourquoi Poirot parle de fonction log-multiplicative en http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1466132,1466206#msg-1466206 : je crois lire chez Poirot des égalités de type $g(nm) = g(n) + g(m)$ si $n,m$ sont premiers entre eux.

QUID ?
Toi tu n'y es pour rien en ce qui concerne l'égalité $g(nm) = g(n) + g(m)$ écrite par Poirot.

@Poirot
Oublions la terminologie. Et continuons à noter $g$ pour les groupes abéliens. Il me semble que, pour $n, m$ premiers entre eux, tu écris $g(nm) = g(n)+g(m)$. Vrai, faux, j'ai rien compris ?
Tandis que mézigue, j'écris $g(nm) = g(n)g(m)$.

On peut quand même pas avoir raison tous les deux ?