Produit scalaire associé à une matrice SDP
Bonjour,
Soit A une matrice symétrique définie positive. L'énoncé de exercice propose de minimiser de la fonction ${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1}{2}}(\mathbf {A} x,x)-(b,x)} $. Pour commencer je trouve l'énoncé peu clair, j'imagine que <> représente le produit scalaire canonique dès lors que l'on dispose d'un espace euclidien (E_n,<>) munit d'une base .
Je n'arrive pas à montrer proprement que l'application: $f_A:(x,y) \to <Ax,y>$ est un produit scalaire.
Déjà pour commencer
Pour le caractère:
- bilinéaire:si l'on pose g une application linéaire de E_n, on montre plus généralement que (x,y) \to <g(x),y> est bilinéaire en s'appuyant sur le caractère bilinéaire du produit scalaire canonique et la linéarité de g
- et symétrique: le plus simple ici est je crois de revenir à la formulation matricielle et la définition du produit scalaire canonique à l'aide de la transposition
- Pour le caractère définie positif je m'appuie sur le fait qu'un endomorphisme symétrique (réel?) est diagonalisable dans une base orthogonal: je peux donc écrire $A=P^tDP$.
Pour tout vecteur de la base: e_i, j'ai $f_A(e_i,e_i)=(Pe_i)^tD(Pe_i)$ avec les valeurs propres de $D$ strictement positives. En notant x=Pe_i j'ai envie d'écrire $f_A(e_i,e_i)=\sum x_i^2d_{ii}$ qui est strictement positif. Ensuite on généralise en prenant des combinaisons linéaires non nuls des vecteurs de base
Je penses avoir les bonnes idées mais je serai curieux de voir ce que vous considérez comme une rédaction rigoureuse.
Soit A une matrice symétrique définie positive. L'énoncé de exercice propose de minimiser de la fonction ${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1}{2}}(\mathbf {A} x,x)-(b,x)} $. Pour commencer je trouve l'énoncé peu clair, j'imagine que <> représente le produit scalaire canonique dès lors que l'on dispose d'un espace euclidien (E_n,<>) munit d'une base .
Je n'arrive pas à montrer proprement que l'application: $f_A:(x,y) \to <Ax,y>$ est un produit scalaire.
Déjà pour commencer
Pour le caractère:
- bilinéaire:si l'on pose g une application linéaire de E_n, on montre plus généralement que (x,y) \to <g(x),y> est bilinéaire en s'appuyant sur le caractère bilinéaire du produit scalaire canonique et la linéarité de g
- et symétrique: le plus simple ici est je crois de revenir à la formulation matricielle et la définition du produit scalaire canonique à l'aide de la transposition
- Pour le caractère définie positif je m'appuie sur le fait qu'un endomorphisme symétrique (réel?) est diagonalisable dans une base orthogonal: je peux donc écrire $A=P^tDP$.
Pour tout vecteur de la base: e_i, j'ai $f_A(e_i,e_i)=(Pe_i)^tD(Pe_i)$ avec les valeurs propres de $D$ strictement positives. En notant x=Pe_i j'ai envie d'écrire $f_A(e_i,e_i)=\sum x_i^2d_{ii}$ qui est strictement positif. Ensuite on généralise en prenant des combinaisons linéaires non nuls des vecteurs de base
Je penses avoir les bonnes idées mais je serai curieux de voir ce que vous considérez comme une rédaction rigoureuse.
Réponses
-
Bonjour pourquoi
Pourquoi cherches-tu à montrer que l'application que tu notes $f_A$ est un produit scalaire ? En quoi ça va t'aider à résoudre l'exercice ?
Tu as des fonctions bilinéaires, elles sont en particulier dérivables. Pourquoi ne pas dériver la fonction $f$ et chercher ses points critiques ? Tu sais que les minimums de ta fonction vont se trouver parmi ces points critiques.
Il te restera à voir lesquels sont des minimums... Tu as dû déjà faire des choses comme ça, non ?
Cordialement
Omega -
Même sans dériver : $f(x+h) = f(x) + \langle Ax-b, h \rangle + \langle Ah,h\rangle$.
Il n'est alors pas difficile de voir qu'il y a un $x$ tel que, pour tout $h$, on ait $f(x+h)\geqslant f(x)$. -
Soit $\varphi:(\R^n)^2\to \R$ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée et $\ell:\R^n \to \R$ une forme linéaire. Alors il existe un unique $v\in \R^n$ tel que pour tout $x \in \R^n$, $\varphi(v,x)=\ell(x)$. Par suite on a pour tout $x\in \R^n$, $$\begin{align}\frac{1}{2} \varphi(x,x)-\ell(x) & =\frac{1}{2}\varphi(x,x)- \varphi(v,x) \\ & = \frac{1}{2} \varphi(x,x)-\varphi(v,x)+\frac{1}{2}\varphi(v,v)-\frac{1}{2} \varphi(v,v) \\ & = \frac{1}{2} \varphi(x-v,x-v) - \frac{1}{2} \varphi(v,v)\end{align}$$
Ce calcul est la généralisation aux espaces vectoriels de la mise sous forme canonique des équations du second degré et peut servir pour l'exo.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour, pour la question @ pourquoi
la symétrie et bilinéarité tu les as déjà prouvé, reste si la forme est définie positive: mais $(x,x)=\langle Ax,x\rangle >0$ est valide pour tout $x$ réel non nul, c'est même équivalent à la définition d'une matrice symétrique définie positive, la preuve est quasi tel que tu l'as faite par diagonalisation, un truc connu. -
On sait que dans un espace fonctionnel courbe (base non-orthogonale) le produit scalaire de 2 vecteurs quelconques s'exprime en fonction de produit scalaire des vecteurs de base.
(x, y) = Double-Somme xi yj Aij
avec Aij = (ei, ej)
où ei et ej sont les vecteurs de base.
Mais... comment calculer le produit scalaire des vecteurs de base.?
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Bonjour!
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