semi-anneaux, pas groupe, matrices
dans Algèbre
J'ai inondé il ya quelques années le forum avec mon enquête sur la puissance du déterminant, sur le fait de pouvoir s'en passer, etc. Je pense que j'ai aussi dû mettre dans "il est facile de" les questions suivantes mais "à la va vite".
Or j'ai décidé de rédiger complètement le "dernier volet" (bien que mon essai de trivialiser le déterminant n'ait jamais abouti) du phénomène de la dimension, c'est à dire dans le cas où on a une distributivité, mais nulle part un groupe (ni multiplicatif, ni additif).
En effet, ce sont des situations fréquentes où les outils classiques ne donnent pas "a priori" et sans travail les conclusions voulues. Par exemple si $*$ est associative et commutative et telle que $\forall x: x*x=x$, alors elle est évidemment distributive par rapport à elle-même mais il n'y a aucune chance de "la plonger" (à ma connaissance) même de manière détournée dans un anneau.
D'ailleurs, on n'a plus vraiment non plus de notion de noyau évidente. Or pourtant, après y avoir bien réfléchi, je pense que le premier théorème de mon tryptique fétiche de 3 théorèmes allant creschendo suivant se prouver comme avec la preuve que j'ai donnée pour les anneaux. Je n'ai aucune idée de si les deux qui renforcent ensuite sont vrais.
Soit $A$ un ensemble infini doté de 2 opérations, notées $\times , +$ commutatives et associatives, $\times$ distributive par rapport à $+$. C'est tout, on ne suppose rien de plus. Comme à l'accoutumée, on appelle "applications linaires" les applications de $A^n$ dans $A^p$ vérifiant ce que vous devinez.
Enoncé1: pour tous entiers n,p non nuls si $n>p$ or il n'existe pas d'injection linéaire de $A^n$ dans $A^p$
Enoncé2: soit $M$ une matrice carrée et $N$ sa transposée, à coefficients dans $A$. Elles induisent (et sont identifiables à) naturellement des applications linéaires. Alors $M$ injective => $N$ injective
Enoncé3: soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$ injective (à coefs dans $A$). Il existe alors deux éléments $u,v$ de $A^n$, $(a_1,..,a_{n-1})\in A^{n-1}$ et $r,s$ dans $A$ tels que :
1) $M(u) = (a_1,..,a_{n-1},r)$
2) $M(u) = (a_1,..,a_{n-1},s)$
3) Pour tous $x,y$ dans $A$, si $rx+sy = ry+sx$ alors $x=y$.
Dès que j'aurais le courage, je posterai une preuve soignée de l'énoncé1. Par contre, il ne semble pas très aisé de transporter les preuves "déterminantielles" sur les anneaux vers des preuves établissant 2 et 3
Or j'ai décidé de rédiger complètement le "dernier volet" (bien que mon essai de trivialiser le déterminant n'ait jamais abouti) du phénomène de la dimension, c'est à dire dans le cas où on a une distributivité, mais nulle part un groupe (ni multiplicatif, ni additif).
En effet, ce sont des situations fréquentes où les outils classiques ne donnent pas "a priori" et sans travail les conclusions voulues. Par exemple si $*$ est associative et commutative et telle que $\forall x: x*x=x$, alors elle est évidemment distributive par rapport à elle-même mais il n'y a aucune chance de "la plonger" (à ma connaissance) même de manière détournée dans un anneau.
D'ailleurs, on n'a plus vraiment non plus de notion de noyau évidente. Or pourtant, après y avoir bien réfléchi, je pense que le premier théorème de mon tryptique fétiche de 3 théorèmes allant creschendo suivant se prouver comme avec la preuve que j'ai donnée pour les anneaux. Je n'ai aucune idée de si les deux qui renforcent ensuite sont vrais.
Soit $A$ un ensemble infini doté de 2 opérations, notées $\times , +$ commutatives et associatives, $\times$ distributive par rapport à $+$. C'est tout, on ne suppose rien de plus. Comme à l'accoutumée, on appelle "applications linaires" les applications de $A^n$ dans $A^p$ vérifiant ce que vous devinez.
Enoncé1: pour tous entiers n,p non nuls si $n>p$ or il n'existe pas d'injection linéaire de $A^n$ dans $A^p$
Enoncé2: soit $M$ une matrice carrée et $N$ sa transposée, à coefficients dans $A$. Elles induisent (et sont identifiables à) naturellement des applications linéaires. Alors $M$ injective => $N$ injective
Enoncé3: soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$ injective (à coefs dans $A$). Il existe alors deux éléments $u,v$ de $A^n$, $(a_1,..,a_{n-1})\in A^{n-1}$ et $r,s$ dans $A$ tels que :
1) $M(u) = (a_1,..,a_{n-1},r)$
2) $M(u) = (a_1,..,a_{n-1},s)$
3) Pour tous $x,y$ dans $A$, si $rx+sy = ry+sx$ alors $x=y$.
Dès que j'aurais le courage, je posterai une preuve soignée de l'énoncé1. Par contre, il ne semble pas très aisé de transporter les preuves "déterminantielles" sur les anneaux vers des preuves établissant 2 et 3
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Réponses
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J'ai saoulé le forum pendant des centaines de posts à plusieurs reprises il ya quelques années en cherchant des arguments basiques pour se passer du déterminant dans les anneaux commutatifs quelconques et obtenir des preuves d'énoncés, bien connus des étudiants pour les corps, mais en apparence pénibles à prouver dans des anneaux non supposés intègres, car le produit de deux éléments peut donner 0 sans qu'aucun des deux ne soit nul.
A aucun moment je n'ai pris soin de tout bêtement regarder si la bête et méchante preuve de L1 marche. En commençant à rédiger le cas semi (où on n'a plus rien, même plus la régularité de l'addition), je viens de m'apercevoir à mon plus grand étonnement et sentiment de gachis que l'argument de L1 marche parfaitement bien et ne se sert jamais de l'intégrité de l'anneau. Je suis furieux contre moi-même, mais aussi contre l'académisme qui commet là une vraiment grave faute morale en évoquant l'apparente nécessité d'une hypothèse pas du tout utile :-X
Mais c'est quand-même bizarre car j'ai l'impression d'avoir réfléchi longtemps à cette question, je ne comprends pas comment j'ai pu passer à côté de cette remarque que le L1-exposé de n'importe quel glampin qui enseigne en premier cycle marche sans modification (je parle de l'énoncé le plus fort, le numéro3, mais à propos des vrais anneaux, ie pas "semi").
Du coup, une autre hypothèse est possible :-D , car depuis quelques temps, je m'étonne de prouver des trucs, certes sans aucune importance à priori, mais dont j'ai chaque l'impression que si leurs preuves avaient, par exemple, exister en 1995, je les aurais vues. De plus, il arrive (certes très rarement!!) que des experts indiscutables aient l'air surpris par ces énoncés (ce qui atteste qu'ils ne les connaissaient pas par coeur avant), par exemple, GBZM récemment à propos de deux détails auxquels il a réagi semblant (je peux faire erreur) ne pas se rappeler qu'ils les connaissaient "d'emblée" comme classiques de par sa longue expérience.
Alors ou bien je deviens tellement fou que je ne vois plus mes erreurs et que les lecteurs ont la flemme de me les faire remarquer ou bien, soyons fou, c'est toujours plus rigolo, les réalités mathématiques évoluent avec le temps, ie certaines preuves ont des dates de naissance absolues. Mais ça, on ne pourra jamais le savoir... sauf si on prouve que $\pi$ est subitement rationnel en 3 lignes.
Question: est-ce que je reproduis la preuve bête et méchante de L1 ou est-ce que je laisse le lecteur la produire avec plaisir pour démontrer la chose suivante?
Soit $A$ un anneau commutatif unitaire et $M$ une matrice carrée à coefficient dans $A$. Ou bien elle n'est pas injective ou bien il existe une matrice carrée $A$ et un élément régulier $k$ de l'anneau $A$ tel que $AM=MA=kJ$.
Comme je ne vois pas trop l'intérêt de le taper moi-même, je laisse les lecteurs s'amuser à le prouver (il n'y a strictement imagination à avoir, aucune précaution à prendre, aucune inspiration, cette énoncé a la même preuve que celle de L1 à propos des corps).
Le plus rigolo, même si certains intervenants ne viennent plus beaucoup, c'est que le forum m'en est témoin, qu'est-ce que j'ai pu faire "chier le monde" avec cette histoire. Et pourtant personne n'avait non plus remarqué ça (que la preuve basique donne le résultat). Je cite un peu l'historique des participants à cette conversation thématique étalée sur 10ans: Ritchie, PB, dSP (qui ont fourni des preuves à coup de déterminants ou de formes alternées), Clairon (une agrégative à l'époque qui était très rigoureuse et s'était elle aussi arraché les cheveux), enfin plus récemment, mais c'était plus indirect, Claude Quitté...
Bin, à ce moment-là, si on m'avait dit que c'est trivial et qu'il n'y a qu'à lire... n'importe quel cours de L1, je n'y aurais pas cru. D'où le passage violet ci-dessus.
Est ce que tu penses qu'on peut barrer un certain nombre de lignes pour que le nombre de :-X sur chaque colonne soit pair ?
:-X :-X :-D :-X :-X :-X
:-X :-X :-X :-D :-X :-X
:-X :-X :-X :-X :-D :-X
:-X :-X :-X :-X :-X :-D
:-D :-X :-X :-X :-X :-X
???
De mon téléphone
Si tu avais passé autant de temps à écrire un argument mathématique clair et précis, tu aurais peut-être vu le bug ...
En tout cas, c'est l'un des thèmes, ce mystère du déterminant, qui semble me promettre encore bien du plaisir, il est loin d'être totalement élucidé. Mais je ne désespère pas d'y voir clair un jour (ie de trouver la substance logique qu'il (le det) parvient à mettre en boite noire).
Considérons $\varphi\colon A^2\to A$ définie, pour tout $(u,v)\in A^2$ et tout $n\in\N$ par $\varphi(u,v)(2n)=u(n)$ et $\varphi(u,v)(2n+1)=v(n)$. Alors $\varphi$ est un isomorphisme.
Je n'ai pas trop le temps là, mais à quel endroit ce que tu fais diffère-t-il?
Si $A$ est un anneau commutatif unitaire et $f:A^2\to A$, linéaire, alors, en prenant $a:=f(1,0)$ et $b:=f(0,1)$, on obtient
$$f(-b,a) = f( -b(1,0)+a(0,1) ) = -ba + ab = 0$$
l'égalité des images de $(x+b, x)$ et $(x,x+a)$ entraine, pour tout $x: x=x+a=x+b$. En particulier, $a=a+a=a+b$ et $b=b+a=b+b$ donc $a=a+b=b$. Mais alors $(x,y)$ et $(y,x)$ ont la même image donc $x=y$
Dans ce cas ça ne marche pas.
(i.e. pour tout $x,y\in A$ on a $x+y=0=x\times y$)
Ensuite prendre une injection de $A^2$ dans $A$ qui envoie $(0,0)$ sur $0$, ça préserve les opérations.
Pour espérer ton énoncé il doit falloir ajouter un hypothèse, par exemple $+$ est une opération de groupe (ou un truc de ce genre).
C'est-à-dire $A$ est l'ensemble des matrices "carrées infinies" dont les colonnes n'ont qu'un nombre finie d'entrées non nuls.
Pour tout $M,N\in A$ et tout $i,j\in\N$, on pose:
l'addition classique définie par $(M+N)(i,j)=M(i,j)+N(i,j)$,
La multiplication "naturelle" de matrice $(M\times N)(i,j)=\sum_{k=0}^{\infty} M(i,k)N(k,j)$.
Grâce à la condition de finitude la multiplication est bien définie (dans la somme il n'y a qu'un nombre finie de termes non nuls). Il reste à montrer que la matrice obtenue est bien dans $A$. Soit $j\in\N$, considérons $X$ l'ensemble des $k\in\N$ tel que $N(k,j)\not=0$, cet ensemble est finie par hypothèse sur $N\in A$. Pour chaque $k\in X$, considérons $Y_k$ l'ensemble des $i\in \N$ tel que $M(i,k)\not=0$, cet ensemble est aussi fini. Posons $Y=\bigcup_{k\in X}Y_k$, cet ensemble est aussi fini. Soit $i\in\N\setminus Y$. Alors on a :
\[
(M\times N)(i,j)=\sum_{k=0}^{\infty} M(i,k)N(k,j) = \sum_{k\in X} M(i,k)N(k,j) + \sum_{k\in \N\setminus X} M(i,k)N(k,j)
\]
Si $k\in X$, vu que $i\not\in Y$, on a $i\not\in Y_k$, et donc $M(i,k)=0$. Si $k\in\N\setminus X$, alors vu la définition de $X$, on a $N(k,j)=0$. On en déduit que $(M\times N)(i,j)=0$. Donc les colonnes de $M\times N$ sont presque partout zéro.
Normalement on devrait pouvoir montrer comme d'habitude que $(A,\times,+)$ est bien un anneau. Vu que toutes les sommes sont finies les démonstrations habituels devraient marcher.
Enfin, vu que la multiplication peut être vue "colonne par colonne", on en déduit un isomorphisme $\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)\colon A\to A^2$ définie par $\varphi_1(M)(i,j) = M(i,2j)$ et $\varphi_2(M)(i,j) = M(i,2j+1)$.
On voit assez intuitivement que $\varphi$ est un isomorphisme de $A$-module à gauche.
Peut-être veux-tu des isomorphismes de bimodules ? dans ce cas il faudrait préciser ce qu'est une injection linéaire.
Si $(A,+,\times)$ est un semi-anneau, si $v\in A^n$ et $x\in A$, je note $x.v$ l'élément $i \mapsto (xv_i)$ de $A^n$ et j'appelle linéaire $f:A^n\to A^p$, une application telle que pour tous $u,v$ dans $A^n$ , pour tous $x,y$ dans $A$:
$$ f(xu+yv) = x.f(u) + y.f(v)$$
Je pensais que c'était non ambigu dès le départ. Evidemment, il est célèbre que si $A$ est un anneau commutatif quelconque, $n,p$ des entiers quelconques, si $n>p$ et $f:A^n\to A^p$ est linéaire alors $f$ n'est pas injective.
Je précise tout ça 1) parce que tu as demandé le sens de "linéaire" et 2) parce qu'en lisant vite, j'ai l'impression que tu cherches un anneau commutatif qui serait contre-exemple, or il y a une preuve*** qu'il n'en existe pas, et ce quelque soit l'anneau commutatif.
*** Je te redonne la preuve (enfin une preuve, mais c'est la plus courte que j'ai trouvée, et j'en étais fier à l'époque, même si depuis, j'ai plein de variations presque aussi courte).
1) Il est facile de voir que si $f$ est linéaire et injective de $A^{n+1}\to A^n$ alors pour tout $p>n$, il existe $g$ linéaire injective de $A^p\to A^n$.
2) On peut donc supposer que toute f linéaire de $X^{n+1}\to X^n$ est non-injective d'une part, et ce quelque soit l'anneau commutatif $X$ et d'autre part, qu'il y a une injection linéaire $g$ de $A^{2n+2}\to A^{n+1}$, pour un certain commutatif $A$.
3) Pour économiser du latex, je suppose $n=8$. Soit $u:=(u_1,..,u_9, 0,..,0)\in A^{18}$ non nul tel que $g(u)=(r,0,0,..,0, 0)$. En raisonnant dans $B:=A/Annulateur(r)$, où $J:=Annulateur(r)$ est l'ensemble des $x\in A$ tels que $rx=0$ on voit exister des vecteurs tels que $v:=(0,..,0,v_{10},..,v_{18})$ dont l'un au moins des $v_i$, pour $i$ entre 10 et 18, n'est pas tel que $rv_i=0$ et tel que $g(v) = (s,o_1,..,o_9)$, les $o_i$ vérifiant $ro_i=0$. Le vecteur non nul $w :=-su+rv$ vérifie $g(w)=0$ contradiction.
1) Il est trivial que $J$ est premier
2) Le premier cycle universitaire bête et méchant démontre usuellement que quand l'anneau est intègre il n'y a pas de contre-exemple (c'est comme les corps).
3) contradiction.
Enfin pour ta phrase " parce qu'en lisant vite, j'ai l'impression que tu cherches un anneau commutatif qui serait contre-exemple, or il y a une preuve*** qu'il n'en existe pas, et ce quelque soit l'anneau commutatif."
as-tu lu mon dernier exemple ? l'anneau construit n'est pas commutatif. Peux-tu lire lentement mes réponses ?
Dans mon premier exemple on a juste un isomorphisme d'anneaux $A^2\to A$.
Dans mon second exemple on a toutes les propriétés que tu demandais (avec en plus la commutativité de la multiplication), en particulier on a bien une injection linéaire $A^2\to A$, mais pas d'éléments neutre pour l'addition, ni pour la multiplication (dans $A$).
Pour mon second exemple je n'ai pas bien compris ce qui te pose problème, j'ai l'impression que tu refuse l'axiome de l'infini...
Enfin dans mon dernier exemple je donne bien un anneau tel que $A$ et $A^2$ sont isomorphe en tant que $A$-modules à gauche, mais l'anneau n'est pas commutatif.
Il me semble que tu fais beaucoup d'hypothèses implicites et ce n'est pas évident pour le lecteur de les deviner.
C'est dans cette situation où on n'a pas de contre -exemple célèbre. Pour tous les autres retraits il y a des exemples bien connus d'injections linéaires de A^2 dans A
Je formaliserai le moindre détail d'un PC si tu veux
en retirant ce qu'il y a entre parenthèse, ça donne Ce qui suggère que tu retires aussi les éléments neutres (modulo l'inversion masculin/féminin).
1) $(A,+,\times)$ est un triplet où $+$ et $\times$ vont de $A^2$ dans $A$ et sont commutatives et associatives. On abrègera en $xy$ l'élément $x\times y$. De plus $A$ est infini.
2) Pour tous $x,u,v$ dans $A: x(u+v) = (xu)+(xv)$.
3) $n,p$ sont des entiers vérifiant $n>p>0$
4) Soit $f: A^n\to A^p$ est telle que pour tous éléments $x\in A$, $u,v$ dans $A^n$:
$$f((xu)+v) = (xf(u)) + f(v)$$
où $xu$ désigne $(i\mapsto xu_i)$
5) Se peut-il que $f$ soit injective?
Voilà formalisé l'énoncé1.
Je rappel : Partons d'un ensemble infini quelconque $A$. Fixons un élément $a_0$ dans $A$. Considérons
\begin{align*}
+\colon A^2&\to A\\
(x,y)&\mapsto a_0
\end{align*}
On pose $\times=+$.
On a bien $A$ infini (choix initial), de plus $+,\times$ sont des fonctions de $A^2\to A$. Vu que tout calcul (faisant intervenir au moins une opération) donne $a_0$, on prouve facilement l'associativité, la commutativité, et la distributivité. On a donc bien (1) et (2). (si tu veux je peux le démontrer, si ça te pose problème, précise la propriété que je dois montrer)
Considérons une injection de $f\colon A^2\to A$ tel que $f(a_0,a_0)=a_0$. C'est un résultat classique, si un ensemble est infini alors on peut injecter $A^2\to A$, on peut aussi choisir l'image d'un élément spécifique (est-ce ça qui te pose problème ? je peux faire des calculs explicite avec $A=\N$ si tu veux.)
On pourrait se dire, vu le choix quelconque de $f$ que ça ne va pas marcher, mais on peut facilement démontrer que c'est linéaire.
Soit $x\in A$ et $u=(u_1,u_2)\in A^2$ et $v=(v_1,v_2)\in A^2$ alors $f(xu+v) = f(x(u_1,u_2) + (v_1,v_2)) = f((a_0,a_0)+(v_1,v_2)) = f( (a_0+v_1,a_0+v_2)) = f((a_0,a_0)) = a_0$, on a aussi $xf(u) + f(v) = a_0 + f(v) = a_0$. Donc $f(xu+v)=xf(u) + f(v)$.
Du coup $f\colon A^2\to A$ est bien une injection linéaire.
et m'étais attardé un peu sur les longs, et vu "non commutatif", puis réagi.
1)On peut représenter f par une matrice 2 fois 1
2) Chaque opération a un élément neutre
On a d'ailleurs que 2 implique que toute f linéaire vérifie 1