Une questions sur les morphismes

Morgatte
Morgatte
dans Algèbre
Bonsoir,

Soient G et H deux ensembles et f une fonction quelconque de G vers H.
f peut être injective, surjective ou bijective.

Mais dans le cas ou f est un morphisme de groupe entre (G,.) et (H,*) , f est forcément bijective non ?
En prime, im f = H tout entier, non ?

J'ai un doute...

Réponses

  • Morgatte
    Morgatte
    Je suis con, non sinon elle serait isomorphe. Mais je ne vois pas d'exemple.
  • Poirot
    Poirot
    Non absolument pas. Il suffit de regarder le morphisme trivial de $G$ dans $H$ par exemple. Ce n'est pas parce qu'on définit une application $G \rightarrow H$ que $f(G)=H$, sinon la notion d'application surjective n'aurait aucun intérêt !
  • Morgatte
    Morgatte
    ha ben oui !
    Ok, merci.
  • Morgatte
    Morgatte
    Bonjour,

    Je vais continuer dans ce post, j'ai une autre clarification à vous demander...

    Je lis :

    Il résulte du théorème 7 que si f est un homomorphisme de G dans H, alors f(G) est un sous groupe de H; on l'appelle l'image de f, et on le note Im(f);
    de même, l'ensemble f$^{-1}$({e}), formé des x $\in$ G tels que f(x)=e est un sous-groupe de G, on l'appelle le noyau de G, et on le désigne par Ker(f);

    Donc on parle d'homomorphisme, je dois comprendre qu'il est quelconque donc pas forcément bijectif, n'est-ce pas...
    Mais ensuite on parle d'une fonction f$^{-1}$, mais là du coup je dois comprendre ça comme l'antécédent (pris dans G) de ce qui pointe sur e (pris dans H), ... pas un f$^{-1}$ la fonction réciproque de f... qui permettrait une bijection entre G et H ?
  • Dom
    Dom
    En effet ne pas confondre : $f^{-1}(e)$ n'est défini que lorsque $f$ est bijective.
    Mais $f^{-1}(\{e\})$ est bien un ensemble qui existe toujours et qui ne suppose rien sur $f$.
  • Morgatte
    Morgatte
    ouf :-)
    En première lecture, je n'avais pas saisit que pour lui f$^{-1}$ représentait un antécédent.
    Merci.
  • Dom
    Dom
    J'ajoute que si l'on utilise la notation $f^{-1}$ seule, alors il s'agit bien de la fonction réciproque de la fonction $f$.
    Ainsi, pour utiliser la notation "antécédent" on doit ajouter obligatoirement un ensemble comme argument.
  • Poirot
    Poirot
    J'ajouterai à la très bonne explication de Dom que beaucoup d'auteurs font l'abus d'écrire $f^{-1}(x)$ au lieu de $f^{-1}(\{x\})$ dans beaucoup de contextes. Il faut savoir faire la différence.
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