Une questions sur les morphismes
Bonsoir,
Soient G et H deux ensembles et f une fonction quelconque de G vers H.
f peut être injective, surjective ou bijective.
Mais dans le cas ou f est un morphisme de groupe entre (G,.) et (H,*) , f est forcément bijective non ?
En prime, im f = H tout entier, non ?
J'ai un doute...
Soient G et H deux ensembles et f une fonction quelconque de G vers H.
f peut être injective, surjective ou bijective.
Mais dans le cas ou f est un morphisme de groupe entre (G,.) et (H,*) , f est forcément bijective non ?
En prime, im f = H tout entier, non ?
J'ai un doute...
Réponses
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Je suis con, non sinon elle serait isomorphe. Mais je ne vois pas d'exemple.
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Non absolument pas. Il suffit de regarder le morphisme trivial de $G$ dans $H$ par exemple. Ce n'est pas parce qu'on définit une application $G \rightarrow H$ que $f(G)=H$, sinon la notion d'application surjective n'aurait aucun intérêt !
-
ha ben oui !
Ok, merci. -
Bonjour,
Je vais continuer dans ce post, j'ai une autre clarification à vous demander...
Je lis :
Il résulte du théorème 7 que si f est un homomorphisme de G dans H, alors f(G) est un sous groupe de H; on l'appelle l'image de f, et on le note Im(f);
de même, l'ensemble f$^{-1}$({e}), formé des x $\in$ G tels que f(x)=e est un sous-groupe de G, on l'appelle le noyau de G, et on le désigne par Ker(f);
Donc on parle d'homomorphisme, je dois comprendre qu'il est quelconque donc pas forcément bijectif, n'est-ce pas...
Mais ensuite on parle d'une fonction f$^{-1}$, mais là du coup je dois comprendre ça comme l'antécédent (pris dans G) de ce qui pointe sur e (pris dans H), ... pas un f$^{-1}$ la fonction réciproque de f... qui permettrait une bijection entre G et H ? -
En effet ne pas confondre : $f^{-1}(e)$ n'est défini que lorsque $f$ est bijective.
Mais $f^{-1}(\{e\})$ est bien un ensemble qui existe toujours et qui ne suppose rien sur $f$. -
ouf :-)
En première lecture, je n'avais pas saisit que pour lui f$^{-1}$ représentait un antécédent.
Merci. -
J'ajoute que si l'on utilise la notation $f^{-1}$ seule, alors il s'agit bien de la fonction réciproque de la fonction $f$.
Ainsi, pour utiliser la notation "antécédent" on doit ajouter obligatoirement un ensemble comme argument. -
J'ajouterai à la très bonne explication de Dom que beaucoup d'auteurs font l'abus d'écrire $f^{-1}(x)$ au lieu de $f^{-1}(\{x\})$ dans beaucoup de contextes. Il faut savoir faire la différence.
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Bonjour!
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