Matrice nilpotente
Bonjour,
Il y a un exo très classique qui dit que si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal M_n(\C)$ et vérifient $AB-BA=B$, alors $B$ est nilpotente.
Je me suis posé la question d'une sorte de réciproque : si une matrice nilpotente $B$ est donnée, peut-on trouver $A$ telle que $AB-BA=B$ ?Je vois comment le faire dans des cas particuliers. Par exemple si $B=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$, on peut prendre $A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$. En revanche, je ne vois pas pour le cas général.
Merci d'avance pour vos idées, Michal
Il y a un exo très classique qui dit que si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal M_n(\C)$ et vérifient $AB-BA=B$, alors $B$ est nilpotente.
Je me suis posé la question d'une sorte de réciproque : si une matrice nilpotente $B$ est donnée, peut-on trouver $A$ telle que $AB-BA=B$ ?Je vois comment le faire dans des cas particuliers. Par exemple si $B=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$, on peut prendre $A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$. En revanche, je ne vois pas pour le cas général.
Merci d'avance pour vos idées, Michal
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Réponses
On note $T_n(\mathbb{C})$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieurs. L'endomorphisme de $T_n(\mathbb{C})$ défini par $A\mapsto AB-BA$ a pour noyau le commutant de $B$ qui est dans ce cas est $\mathbb{C}\left[B\right]$ dont la dimension est $n$.
On en déduit avec le théorème du rang que l'image de l'endomorphisme est l'ensemble des matrices triangulaires strictement supérieur. Or la matrice $B$ est dans l'image, d'où le résultat.
Deux questions : le fait que l'image soit incluse dans l'ensemble des matrices triangulaires strictes est-il une évidence ? Je l'ai montré en calculant l'image de $E_{i,\,j}$ pour $j\geqslant i$ par l'application (je trouve $E_{i,\,j+1}-E_{i-1,\,j}$, mais peut-être que je rate un truc plus simple.
Et sinon, est-ce qu'il y a moyen de se passer de la réduction de Jordan ?
Je ne sais pas si l'on peut se passer de la décomposition de Jordan. En gardant la même idée de démonstration, je ne vois pas comment on pourrais s'en passer.
Si $\mathbb K$ est un corps, et $A,B$ sont deux matrices carrés de taille $n\geq 1$ à coefficients sur ce même corps j'étudie la proposition selon laquelle :
[Restons dans la discussion récente qui traite déjà du sujet. AD]
Edit : ce message parle du cas totalement général, sans hypothèse particulière sur la caractéristique. Bien sûr, en caractéristique non nulle il y a des contraintes sur la taille de $A$.
@dSP l'hypothèse "$n<p$" ci-dessus est contraignante. Peut-être pensais-tu à une autre question?
Soient $A,B\in M_n(K)$ avec $car(K)>n$, telles que $AB-BA=A$. Un raisonnement habituel montre que pour tout polynôme $f\in K[X]$, on a $f(A)B-Bf(A)=Af'(A)$. Si $f$ est le polynôme minimal de $A$ cela entraîne (vu que $\deg(f)<car(K)$)que $Xf'(X)$ et $f(X)$ sont proportionnels puis on conclut.
@dSP Auriez vous une idée de l'Annee de publication de cet article ? Merci
Je dis juste que le résultat est faux en toute généralité.
un petit aparté sinon dans le sujet
si A est normale et notant A* sa transconjuguée
A.A*-A*A=matrice nulle
c'est le cas des matrices de Moivre(les plus belles de toutes les matrices)
Je n'ai jamais entendu parler des matrices de Moivre. Pourrais-tu me donner la définition SANS aucune autre indication de leurs propriétés. Et je vais travailler en me posant la question : quelles sont les propriétés remarquables de telles matrices ?