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Matrice nilpotente

Envoyé par michal 
Matrice nilpotente
il y a deux années
Bonjour,

Il y a un exo très classique qui dit que si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal M_n(\C)$ et vérifient $AB-BA=B$, alors $B$ est nilpotente.

Je me suis posé la question d'une sorte de réciproque : si une matrice nilpotente $B$ est donnée, peut-on trouver $A$ telle que $AB-BA=B$ ?Je vois comment le faire dans des cas particuliers. Par exemple si $B=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$, on peut prendre $A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$. En revanche, je ne vois pas pour le cas général.

Merci d'avance pour vos idées, Michal



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par michal.
MrJ
Re: Matrice nilpotente
il y a deux années
En utilisant la réduction de Jordan, on se ramène au cas où la matrice $B\in M_n(\mathbb{C})$ est définie par $b_{i,j}=\delta_{i+1,j}$.

On note $T_n(\mathbb{C})$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieurs. L'endomorphisme de $T_n(\mathbb{C})$ défini par $A\mapsto AB-BA$ a pour noyau le commutant de $B$ qui est dans ce cas est $\mathbb{C}\left[B\right]$ dont la dimension est $n$.

On en déduit avec le théorème du rang que l'image de l'endomorphisme est l'ensemble des matrices triangulaires strictement supérieur. Or la matrice $B$ est dans l'image, d'où le résultat.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par MrJ.
Re: Matrice nilpotente
il y a deux années
Merci MrJ !

Deux questions : le fait que l'image soit incluse dans l'ensemble des matrices triangulaires strictes est-il une évidence ? Je l'ai montré en calculant l'image de $E_{i,\,j}$ pour $j\geqslant i$ par l'application (je trouve $E_{i,\,j+1}-E_{i-1,\,j}$, mais peut-être que je rate un truc plus simple.
Et sinon, est-ce qu'il y a moyen de se passer de la réduction de Jordan ?
MrJ
Re: Matrice nilpotente
il y a deux années
Comme $B$ est triangulaire strictement supérieur et $A$ triangulaire superieure, leur produit est une matrice triangulaire strictement supérieur.

Je ne sais pas si l'on peut se passer de la décomposition de Jordan. En gardant la même idée de démonstration, je ne vois pas comment on pourrais s'en passer.
$AB-BA=A\Rightarrow A$ nilpotente
il y a deux années
Bonjour,

Si $\mathbb K$ est un corps, et $A,B$ sont deux matrices carrés de taille $n\geq 1$ à coefficients sur ce même corps j'étudie la proposition selon laquelle :
$AB-BA=A \Rightarrow A$ nilpotente.

Si le corps de base est $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ le résultat peut être obtenu facilement en considérant la trace ou bien en exhibant une infinité de valeurs propres pour un certain endomorphisme. Néanmoins le résultat est maintenu si on remplace $\mathbb K$ par $\mathbb F_p$ où $p$ est un nombre premier $>n$. Je ne vois pas quel outil utiliser, auriez-vous une idée ou une référence ? Merci !

[Restons dans la discussion récente qui traite déjà du sujet. AD]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
dSP
Re: $AB-BA=A$
il y a deux années
Un contributeur habituel du forum (R. Leroy dans le civil) a répondu à cette question dans la rubrique Q/R de la RMS, et il y a eu un fil là-dessus il y a quelques années. Pour faire court, $A$ n'est pas nécessairement nilpotente (c'est un problème de caractéristique davantage que de finitude), et si ma mémoire est juste on sait caractériser ces matrices en termes d'invariants de similitude.

Edit : ce message parle du cas totalement général, sans hypothèse particulière sur la caractéristique. Bien sûr, en caractéristique non nulle il y a des contraintes sur la taille de $A$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par dSP.
Re: $AB-BA=A$
il y a deux années
Bonjour,

@dSP l'hypothèse "$n<p$" ci-dessus est contraignante. Peut-être pensais-tu à une autre question?

Soient $A,B\in M_n(K)$ avec $car(K)>n$, telles que $AB-BA=A$. Un raisonnement habituel montre que pour tout polynôme $f\in K[X]$, on a $f(A)B-Bf(A)=Af'(A)$. Si $f$ est le polynôme minimal de $A$ cela entraîne (vu que $\deg(f)<car(K)$)que $Xf'(X)$ et $f(X)$ sont proportionnels puis on conclut.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: $AB-BA=A$
il y a deux années
@Foys Merci pour la réponse !!!

@dSP Auriez vous une idée de l'Annee de publication de cet article ? Merci :)
Re: $AB-BA=A$
il y a deux années
Dans $\Z/2\Z$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ vérifient $AB-BA = A$, et pourtant $A$ n'est pas nilpotente.
Re: $AB-BA=A$
il y a deux années
@Guego il y'a l'hypothèse $p>n$ qui n'est pas respectée dans votre exemple !
Re: $AB-BA=A$
il y a deux années
Certes, mais le premier message [www.les-mathematiques.net] contient
Citation
romainp
j'étudie la proposition selon laquelle : $AB-BA \Rightarrow A$ nilpotente.

Je dis juste que le résultat est faux en toute généralité.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Matrice nilpotente
il y a deux années
Pour les lecteurs intéressés mais un peu "dépassés" par la généralité de cet énoncé, sachez que c'est une question qui étend un exercice ultra-classique si je ne me trompe pas disant qu'il n'est pas possible d'avoir AB-BA = identité avec des matrices (sauf caractéristiques exceptionnelles je crois).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Matrice nilpotente
il y a deux années
avatar
bonjour
un petit aparté sinon dans le sujet

si A est normale et notant A* sa transconjuguée
A.A*-A*A=matrice nulle

c'est le cas des matrices de Moivre(les plus belles de toutes les matrices)

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Matrice nilpotente
il y a deux années
avatar
Bonjour @fluorhydrique,

Je n'ai jamais entendu parler des matrices de Moivre. Pourrais-tu me donner la définition SANS aucune autre indication de leurs propriétés. Et je vais travailler en me posant la question : quelles sont les propriétés remarquables de telles matrices ?
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