Matrice nilpotente

michal
michal
dans Algèbre
Bonjour,

Il y a un exo très classique qui dit que si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal M_n(\C)$ et vérifient $AB-BA=B$, alors $B$ est nilpotente.

Je me suis posé la question d'une sorte de réciproque : si une matrice nilpotente $B$ est donnée, peut-on trouver $A$ telle que $AB-BA=B$ ?Je vois comment le faire dans des cas particuliers. Par exemple si $B=\left(
\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$, on peut prendre $A=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right)$. En revanche, je ne vois pas pour le cas général.

Merci d'avance pour vos idées, Michal

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    En utilisant la réduction de Jordan, on se ramène au cas où la matrice $B\in M_n(\mathbb{C})$ est définie par $b_{i,j}=\delta_{i+1,j}$.

    On note $T_n(\mathbb{C})$ l'ensemble des matrices triangulaires supérieurs. L'endomorphisme de $T_n(\mathbb{C})$ défini par $A\mapsto AB-BA$ a pour noyau le commutant de $B$ qui est dans ce cas est $\mathbb{C}\left[B\right]$ dont la dimension est $n$.

    On en déduit avec le théorème du rang que l'image de l'endomorphisme est l'ensemble des matrices triangulaires strictement supérieur. Or la matrice $B$ est dans l'image, d'où le résultat.
  • michal
    michal
    Merci MrJ !

    Deux questions : le fait que l'image soit incluse dans l'ensemble des matrices triangulaires strictes est-il une évidence ? Je l'ai montré en calculant l'image de $E_{i,\,j}$ pour $j\geqslant i$ par l'application (je trouve $E_{i,\,j+1}-E_{i-1,\,j}$, mais peut-être que je rate un truc plus simple.
    Et sinon, est-ce qu'il y a moyen de se passer de la réduction de Jordan ?
  • MrJ
    MrJ
    Comme $B$ est triangulaire strictement supérieur et $A$ triangulaire superieure, leur produit est une matrice triangulaire strictement supérieur.

    Je ne sais pas si l'on peut se passer de la décomposition de Jordan. En gardant la même idée de démonstration, je ne vois pas comment on pourrais s'en passer.
  • romainp
    romainp
    Bonjour,

    Si $\mathbb K$ est un corps, et $A,B$ sont deux matrices carrés de taille $n\geq 1$ à coefficients sur ce même corps j'étudie la proposition selon laquelle :
    $AB-BA=A \Rightarrow A$ nilpotente.
    Si le corps de base est $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ le résultat peut être obtenu facilement en considérant la trace ou bien en exhibant une infinité de valeurs propres pour un certain endomorphisme. Néanmoins le résultat est maintenu si on remplace $\mathbb K$ par $\mathbb F_p$ où $p$ est un nombre premier $>n$. Je ne vois pas quel outil utiliser, auriez-vous une idée ou une référence ? Merci !

    [Restons dans la discussion récente qui traite déjà du sujet. AD]
  • dSP
    dSP
    Un contributeur habituel du forum (R. Leroy dans le civil) a répondu à cette question dans la rubrique Q/R de la RMS, et il y a eu un fil là-dessus il y a quelques années. Pour faire court, $A$ n'est pas nécessairement nilpotente (c'est un problème de caractéristique davantage que de finitude), et si ma mémoire est juste on sait caractériser ces matrices en termes d'invariants de similitude.

    Edit : ce message parle du cas totalement général, sans hypothèse particulière sur la caractéristique. Bien sûr, en caractéristique non nulle il y a des contraintes sur la taille de $A$.
  • Foys
    Foys
    Bonjour,

    @dSP l'hypothèse "$n<p$" ci-dessus est contraignante. Peut-être pensais-tu à une autre question?

    Soient $A,B\in M_n(K)$ avec $car(K)>n$, telles que $AB-BA=A$. Un raisonnement habituel montre que pour tout polynôme $f\in K[X]$, on a $f(A)B-Bf(A)=Af'(A)$. Si $f$ est le polynôme minimal de $A$ cela entraîne (vu que $\deg(f)<car(K)$)que $Xf'(X)$ et $f(X)$ sont proportionnels puis on conclut.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • romainp
    romainp
    @Foys Merci pour la réponse !!!

    @dSP Auriez vous une idée de l'Annee de publication de cet article ? Merci :)
  • Guego
    Guego
    Dans $\Z/2\Z$, $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ vérifient $AB-BA = A$, et pourtant $A$ n'est pas nilpotente.
  • romainp
    romainp
    @Guego il y'a l'hypothèse $p>n$ qui n'est pas respectée dans votre exemple !
  • Guego
    Guego
    Certes, mais le premier message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1481186,1482798#msg-1482798 contient
    romainp a écrit:
    j'étudie la proposition selon laquelle : $AB-BA \Rightarrow A$ nilpotente.

    Je dis juste que le résultat est faux en toute généralité.
  • christophe c
    christophe c
    Pour les lecteurs intéressés mais un peu "dépassés" par la généralité de cet énoncé, sachez que c'est une question qui étend un exercice ultra-classique si je ne me trompe pas disant qu'il n'est pas possible d'avoir AB-BA = identité avec des matrices (sauf caractéristiques exceptionnelles je crois).
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • fluorhydrique
    fluorhydrique
    bonjour
    un petit aparté sinon dans le sujet

    si A est normale et notant A* sa transconjuguée
    A.A*-A*A=matrice nulle

    c'est le cas des matrices de Moivre(les plus belles de toutes les matrices)
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour @fluorhydrique,

    Je n'ai jamais entendu parler des matrices de Moivre. Pourrais-tu me donner la définition SANS aucune autre indication de leurs propriétés. Et je vais travailler en me posant la question : quelles sont les propriétés remarquables de telles matrices ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

7 Invités