Équation matricielle

Cher Victor , je continue ta preuve mais en posant $Z=I-M$ et en utilisant ce que tu as montre, cad que la diagonale de $M$ est formee de 1.




Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)$ des va iid de meme loi $\Pr(X_i=\pm 1)=1/2$ et soit $S_X=\mathrm{diag}(X_1,\ldots,X_n).$ Soit $Z$ une matrice $(n,n )$ symetrique de diagonale nulle telle que $(S_X+Z)^{-1}$ existe pour toutes valeurs de $X.$ Montrons que $\mathbb{E}((S_X+Z)^{-1})=0$ entraine $Z=0.$ On procede par recurrence. C'est trivial pour $n=1.$ Si c'est vrai pour $n$ notons $(X_1,\ldots,X_n,X_{n+1})=(X,X_{n+1})$ et $$Z_{n+1}=\left[\begin{array}{cc}Z&C\\C^*&0\end{array}\right]$$ avec $C\in \mathbb{R}^n.$ Posons pour simplifier
$$V=(S_X+Z)^{-1}C,\ a=(X_{n+1}-C^*(S_X+Z)^{-1}C)^{-1}=(X_{n+1}-\langle V,C\rangle)^{-1}.$$
- Donc
$$ S_{(X,X_{n+1})}+Z_{n+1}= \left[\begin{array}{cc}S_X+Z&C\\C^*&X_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}I_n&0\\V^*&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}S_X+Z&0\\0&a^{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I_n&V\\0&1\end{array}\right]$$ Et donc
$$ (S_{(X,X_{n+1})}+Z_{n+1})^{-1}=\left[\begin{array}{cc}I_n&-V\\0&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}(S_X+Z)^{-1}&0\\0&a\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I_n&0\\-V^*&1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(S_X+Z)^{-1}-aVV^*&-aV\\-aV^*&a\end{array}\right]$$ Donc $$0=\mathbb{E}(aV)=\mathbb{E}\frac{V}{X_{n+1}-\langle V,C\rangle}=\mathbb{E}\frac{2V\langle V,C\rangle}{\langle V,C\rangle^2-1}.$$Donc en multipliant scalairement par $C$ on a $\mathbb{E}\frac{2\langle V,C\rangle^2}{\langle V,C\rangle^2-1}=0$ ce qui entraine $\langle V,C\rangle=0$ presque surement. Donc $a=1/X_{n+1}.$ Donc $\mathbb{E}(aVV^*)=0.$ Donc $\mathbb{E}(S_X+Z)^{-1}=0.$ Donc $Z=0$ par hypothese de recurrence. Donc $C^*S_X^{-1}C=0$ presque surement, c'est a dire
$c_1^2X_1+\cdots+c_n^2X_n=0$ presque surement. Petit raisonnement simple, et on en deduit que $C=0. $ La recurrence est etendue.

Bonjour,
quelle est l'origine de cette équation ?
Merci,
Guy

Plutot dur, ce probleme. Une autre idee serait de montrer que $$Z\mapsto \log\prod_X\det(S_X+Z)^2$$ a un extremum seulement en $Z=0$ (car sa differentielle est $\sum_X(S_X+Z)^{-1}$)

Merci !

Ce que tu dis est vrai pour $n=2$ et c'est toujours aussi penible a montrer...On peut se demander si plus generalement on aurait le resultat suivant

Soit $X_1,\ldots,X_n$ iid telles que $E(1/X_1)=0.$ Soit $S_X=\mathrm{diag}(X_1.\ldots,X_n)$ et $Z$ une matrice symetrique telle que $(S_X+Z)^{-1}$ existe presque surement. Alors $$\mathbb{E}((S_X+Z)^{-1})=0\Leftrightarrow Z=0$$

Soit $S_d$ les matrices symetriques reelles et $P_d\subset S_d$ les matrices definies positives. Alors la differentielle de la fonction reelle sur $P_d$ qui est $f(X)=-\log \det X$ est $H\mapsto -\mathrm{trace} HX^{-1}$ et sa hessienne est $$(H,K)\mapsto \mathrm{trace} HX^{-1}KX^{-1}$$ ce qui fait que $f$ est strictement convexe sur $P_d.$ Ensuite, je suppose que le support convexe $C$ de la matrice aleatoire $M$ est contenu dans $P_d$ et je note $D=\{Z\in S_d; C+Z\in P_d\}$ qui est un ouvert convexe de $S_d.$ Considerons la fonction sur $D$ definie par $g(Z)=\mathbb{E}(f(M+Z)).$ Elle est strictement convexe et de differentielle $H\mapsto -\mathrm{trace} H\mathbb{E}((M+Z)^{-1})$ dont le minimum s'il existe est unique. Mais la differentielle s'annule en $Z=0$ car $\mathbb{E}((M)^{-1})=0$. Donc $\mathbb{E}((M+Z)^{-1})=0$ implique $Z=0.$


Je ne sais pas traiter le cas ou $C$ n'est pas contenu dans $P_d.$