polynômes positifs

Bonjour,

Pour la premiere equivalence, afin d’écrire votre factorisation $P=(A+iB)(A-iB)$, il faut observer que chaque racine (complexe) vient avec son conjugue, mais aussi que si une racine est réelle, alors elle doit être de multiplicité paire.

@Jhon : une autre manière de résoudre la première question (qui sera sûrement plus généralisable) est de montrer que l'ensemble des polynômes qui s'écrivent $A^2 + B^2$ est stable par multiplication. Il te suffit alors de prouver pour des facteurs bien choisis de $P$ que eux s'écrivent comme somme de deux carrés, et la remarque de Victor permet de bien choisir ces facteurs.
Une méthode similaire t'aidera à résoudre la deuxième question

Tu peux essayer de trouver une formule similaire pour $A^2 + XB^2$

Oups, la piste que je t'indique ne donne pas le résultat voulu (du moins, pas immédiatement). Mieux vaut suivre l'idée de Maxtimax.

Essaie de mettre sous la forme demandée :
- un polynôme $X-a$ avec $a<0$,
- un polynôme $X^2+bX+c$ irréductible sur $\R$.

Heu, tu es convaincu par ce que tu écris ? Et je ne vois pas la conclusion que $P$ s'écrit sous la forme d'un carré plus $X$ fois un carré.
Je réitère mon conseil : commence par écrire un polynôme $X^2+bX+c$ irréductible sur $\R$ sous la forme d'un carré plus $X$ fois un carré.

Je ne dis pas "sans passer par" mais "pour traiter leur cas". Suis le conseil de GBZM (décompose ces polynômes irréductibles sous la forme de somme de 2 carrés), puis vérifie l'affirmation de Maxtimax concernant la stabilité par produit des polynômes de la forme $A^2+B^2$, puis utilise la dernière remarque de Victor, et je crois que tu auras tout pour conclure à la question a).

Si je peux me permettre, Jhon, où as-tu trouvé cet exercice ?

(décompose ces polynômes irréductibles sous la forme de somme de 2 carrés)

Ici, c'est plutôt comme je l'ai écrit sous forme d'un carré plus $X$ fois un carré.

La question a) est vieille comme les routes. On la trouve déjà par exemple dans l'excellent : Faddéev, Sominski, Recueil d'exercices d'algèbre supérieure, Éditions Mir, Moscou, 1972, n° 608, p. 82, indications p. 145, solution p. 210. Mais c'est marrant, elle apparaît encore dans les concours.

Depuis cette nuit des temps, on a deux démonstrations.

Appelons « polynôme positif » un polynôme $P \in \mathbb R[X]$ tel que : $ \forall x \in \mathbb{R}, P(x) \geq 0$

- La première démonstration utilise la factorisation du polynôme positif $P$ en polynômes irréductibles sur $\mathbb C$. On observe d'abord que pour tout polynôme à coefficients réels, l'ordre de multiplicité d'une racine complexe non réelle est le même que celui de sa conjuguée, et que pour un polynôme positif les facteurs correspondant aux racines réelles ont un exposant pair. On regroupe alors ces facteurs convenablement, et l'on obtient $P=(A+Bi)(A-Bi)$, où $A\in \mathbb R[X]$ et $B \in \mathbb R[X]$.

- La deuxième démonstration utilise la factorisation du polynôme positif $P$ en polynômes irréductibles sur $\mathbb R$. Elle utilise le fait signalé plus haut que le produit de sommes de deux carrés est encore une telle somme (identité de Fibonacci). Un polynôme irréductible normalisé de degré 2 est une somme de deux carrés, et on observe encore que pour un polynôme positif les facteurs correspondant aux racines réelles ont un exposant 2, ce qui permet de conclure.

Ceci règle la question a).

En revanche je ne connaissais pas la question b). On pourrait appeler ceci les « polynômes semi-positifs » et c'est une très belle propriété qui complète harmonieusement la précédente. On s'en sort en appliquant l'idée de Maxtimax, de généraliser l'identité de Fibonacci et adapter la deuxième démonstration précédente.

Dans le cadre « vieilles références », noter que dans la RMS n° 9, 1972-73, p. 251, on lit déjà : « montrer que tout polynôme à une indéterminée à coefficients réels est la différence de deux polynômes positifs ».

Bonne journée.
Fr. Ch.
27/06/2017

À noter que ce problème est très lié au dix-septième problème de Hilbert.

@bisam : Nous on nous a tous donné une copie de la RMS 2016 donc on a eu cet exo aussi :-D dans notre poly par contre, les questions sont ensemble

J'ai fait la même chose, en écrivant plutôt les polynômes $\mathbb{R}$-irréductibles et de degré 2 sous la forme $X^2+2\Re(a)X+|a|^2=(X-|a|)^2+X\left(\sqrt{2(|a|+\Re(a))}\right)^2$ où $a\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$... mais c'est kif-kif.

Ne suffit-il pas de montrer que tout polynôme réel est majoré par un polynôme de la forme $c(1+x^2)^N$ ? (Ça marche aussi à plusieurs variables).

Bravo !!!
Mais ça tue l'exo...
Requiescat in pace

Montrons qu'un polynôme positif sur $[0,1]$ est de la forme $A^2+X(1-X)B^2$.

Posons $u=X(1-X)$. Grâce à l'identité $(A^2+uB^2)(C^2+uD^2)=(AC-uBD)^2+u(AD+BC)^2$, on voit que l'ensemble des polynômes de la forme $A^2+X(1-X)B^2$ est stable par multiplication. Il suffit donc de voir que les polynômes suivants :

(1) $c$ ($c\in \R_+^*$)

(2) $(X-a)^2+b^2$ ($a\in \R$, $b>0$)

(3) $X-a$ ($a\leqslant 0$)

(4) $a-X$ ($a\geqslant 1$)

(5) $(X-a)^2$ ($a\in ]0,1[$)

peuvent se mettre sous la forme $A^2+X(1-X)B^2$.

Pour (1) et (5) c'est évident. Pour (3) dans le cas $a=0$, on écrit $X=X^2+X(1-X)$.

Traitons simultanément le cas d'un polynôme $P$ de la forme (2), ou bien de la forme (3) avec $a<0$.

Pour tout $x\in [0,1]$, on a $P(x)>0$. Soit $\lambda=\min_{x\in ]0,1[} \frac{P(x)}{x(1-x)}$. Il est facile de montrer que ce minimum existe bien. Alors le polynôme $P(X)-\lambda x(1-x)$ est positif sur $[0,1]$, de degré au plus 2, admet une racine et il est strictement positif en $0$ et en $1$, donc il est de la forme $c(X-a)^2$ avec $a\in ]0,1[$ et $c>$. On a donc $P=A^2+X(1-X)B^2$ avec $A=\sqrt{c}(X-a)$ et $B=\sqrt{\lambda}$.

On traite de même le cas d'un polynôme de la forme (4).

Pour $Q=X^4$, par exemple ?