Z/nZ
Bonjour,
Je me suis familliarisé avec G = (Z/nZ, +) = ({0,1,2,....,n-1} , +) mais je me demande est-ce qu'il existe également des groupes du type:
(xZ/nZ, +) du genre (4Z/24Z, +) dont les éléments seraient {0,4,8,12,16,20} ? (Parce que quand je liste les sous groupes de (Z/24Z, +) je trouve bien celui-ci entre autres, mais a-t-il un nom particulier tel que celui que je viens de lui donné ci-dessus ?)
Merci.
Je me suis familliarisé avec G = (Z/nZ, +) = ({0,1,2,....,n-1} , +) mais je me demande est-ce qu'il existe également des groupes du type:
(xZ/nZ, +) du genre (4Z/24Z, +) dont les éléments seraient {0,4,8,12,16,20} ? (Parce que quand je liste les sous groupes de (Z/24Z, +) je trouve bien celui-ci entre autres, mais a-t-il un nom particulier tel que celui que je viens de lui donné ci-dessus ?)
Merci.
Réponses
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Dès que tu considères un groupe cyclique d'ordre fini il est isomorphe à un $Z/nZ$
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$\left(4\mathbb{Z},+\right)$ est un groupe abélien on peut le quotienter par son sous-groupe $24\mathbb{Z}$
Le groupe quotient obtenu est isomorphe à $\left(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+\right)$ sauf erreur. -
Plus généralement, $kn\mathbb Z$ est un sous-groupe de $n\mathbb Z$, donc on peut considérer le groupe quotient $n\mathbb Z/kn\mathbb Z$. On montre facilement que ce groupe est cyclique, isomorphe à $\mathbb Z/k\mathbb Z$.
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Les éléments de $4\mathbb{Z}$ sont tous les éléments de la forme:
$24k,24k+4,24k+8,24k+12,24k+16,24k+20$ avec $k$ un entier relatif.
Tous ces nombres sont aussi dans deux classes distinctes quand on quotiente par $24\mathbb{Z}$
(leur différence deux à deux n'est pas un multiple de $24$)
Le groupe quotient a donc $6$ éléments.
Le nombre $(24k+4)+(24k+4)=24k+8$ est dans la classe de $24k+8$ ce qui veut dire que lorsque on additionne la classe
de $24k+4$ avec elle-même on obtient la classe de $24k+8$
Le nombre $(24k+4)+(24k+4)+(24k+4)$ est dans la classe de $24k+12$...
Bref, on voit de cette façon que ce groupe est cyclique d'ordre $6$. Il est donc isomorphe à $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ -
Bonjour
Puisqu'on parle de groupes abéliens finis, je signale qu'il est bon de penser aussi à la présentation multiplicative. Par exemple, le groupe multiplicatif $(U_n,*)$ des racines $n$-èmes de l'unité (qui a évidemment $n$ éléments) est isomorphe au groupe additif $(\Z/n\Z,+)$.
Il y a aussi les variantes géométriques, par exemple à base de rotations. -
Fin de partie :
Je suis ok pour ces deux choses... 4Z/24Z est isomorphe à Z/6Z, c'était évident
0 -> 0
4 -> 1
8 -> 2
...
J'avais également vu que Z/24Z était isomorphe à $\text{U}_{\text{24}}$
Mais en fait ce que je me pose comme question c'est, est-ce que cette écriture 4Z/24Z ça s'écrit effectivement ou pas pour nommer un groupe comme ci-dessus ? {0, 4, 8 .....}
J'aurais une autre question dans un second temps, mais je souhaite d'abord éclaircir ce point....
Pardon, il semble que Poirot dise que oui, je n'avais pas vu. -
Du coup voici la suite de mon raisonnement et la (les) question(s) qui va (vont) avec :
J'ai donc voulu lister les sous groupes de G = (Z/24Z, +)
Il y en a forcément 8 puisque 24 est divisible par (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)
J'ai aussi voulu déterminer l'ordre de ses éléments, par exemple o(9) = ?
Je me suis aperçu que l'ordre de chaque élément suit cette règle o(x) = [card(G) / pgcd(card(G), x)]
Pour o(9) ça donne : pgcd(24,9) = 3 24/3 = 8 ==> o(9) = 8
C'est vraiment empirique, y a-t-il une méthode plus carrée pour trouver l'ordre d'un élément dans un groupe (Z/nZ, +) ?
Là où ça se complique pour moi, c'est quand j'ai voulu faire le même raisonnement sur le groupe $U_{24}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{24}}$ : k=0 ,... , 5}, x)
Trouver l'ordre d'un élément me semble plus compliqué car je ne peux pas utiliser le pgcd....
Par morphisme entre G = (Z/24Z, +) et $U_{24}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{24}}$ : k=0 ,... , 5}, x), je sais que l'élément 9 correspond à l'élément $e^{i\frac{3\pi}{4}}$ et que donc ces deux-ci sont d'ordre 8.
Je le justifie ainsi, mais je ne trouve pas ça élégant du tout. Comment le feriez-vous, vous ?
$(e^{i\frac{3\pi}{4}})^{k}$ = 1 => $\frac{3k\pi}{4} \equiv 0 [2 \pi]$ => $\frac{3k\pi}{4} = 2 \pi.n + 0$ avec k $\in \mathbb{N}$ et n $\in \mathbb{N}$
=> $k = 2 \pi.n.\frac{4}{3\pi}$
=> $k = \frac{8}{3}.n$
Mais comme k et n $\in \mathbb{N}$, alors le plus petit n possible vaut 3 et ainsi k = 8 donc o($e^{i\frac{3\pi}{4}}$) = 8
Pas très élégant non. Comment justifiez vous l'ordre d'un élément de ce type de groupe ?
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