Z/nZ

Du coup voici la suite de mon raisonnement et la (les) question(s) qui va (vont) avec :

J'ai donc voulu lister les sous groupes de G = (Z/24Z, +)
Il y en a forcément 8 puisque 24 est divisible par (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

J'ai aussi voulu déterminer l'ordre de ses éléments, par exemple o(9) = ?
Je me suis aperçu que l'ordre de chaque élément suit cette règle o(x) = [card(G) / pgcd(card(G), x)]
Pour o(9) ça donne : pgcd(24,9) = 3 24/3 = 8 ==> o(9) = 8
C'est vraiment empirique, y a-t-il une méthode plus carrée pour trouver l'ordre d'un élément dans un groupe (Z/nZ, +) ?


Là où ça se complique pour moi, c'est quand j'ai voulu faire le même raisonnement sur le groupe $U_{24}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{24}}$ : k=0 ,... , 5}, x)
Trouver l'ordre d'un élément me semble plus compliqué car je ne peux pas utiliser le pgcd....

Par morphisme entre G = (Z/24Z, +) et $U_{24}$ = ({$e^{i\frac{2k\pi}{24}}$ : k=0 ,... , 5}, x), je sais que l'élément 9 correspond à l'élément $e^{i\frac{3\pi}{4}}$ et que donc ces deux-ci sont d'ordre 8.

Je le justifie ainsi, mais je ne trouve pas ça élégant du tout. Comment le feriez-vous, vous ?

$(e^{i\frac{3\pi}{4}})^{k}$ = 1 => $\frac{3k\pi}{4} \equiv 0 [2 \pi]$ => $\frac{3k\pi}{4} = 2 \pi.n + 0$ avec k $\in \mathbb{N}$ et n $\in \mathbb{N}$

=> $k = 2 \pi.n.\frac{4}{3\pi}$
=> $k = \frac{8}{3}.n$
Mais comme k et n $\in \mathbb{N}$, alors le plus petit n possible vaut 3 et ainsi k = 8 donc o($e^{i\frac{3\pi}{4}}$) = 8

Pas très élégant non. Comment justifiez vous l'ordre d'un élément de ce type de groupe ?