Isomorphisme de corps de fractions de groupes

Est-ce que tu peux expliquer pourquoi cette algèbre est intègre ? Je crois avoir une idée à base de l'ordonnabilité des groupes abéliens sans torsion, mais ce serait un argument assez long...

@b.b. Pourtant $k[\Bbb{Z}]$ est intègre, non ? Il s'agit en effet, à isomorphisme près, de $k[X, X^{-1}]$.
@GeorgeAbitbol : il me semble que c'est l'argument standard, mais je me trompe peut-être.

Pour les groupes de type fini, c'est facile : le groupe $G$ est isomorphe à $\Z^r$ et il est donc caractérisé par son rang $r$, mais alors $k[G]\simeq k[X_1^{\pm1},\dots,X_r^{\pm r}]$, $k(G)\simeq k(X_1,\dots,X_r)$ et on retrouve $r$ comme le degré de transcendance de $k(G)$ sur $k$.

Edit : Mais ça ne résout pas le problème, voir plus bas.

Et quand tu dis que $k(H)$ et $k(G)$ doivent être isomorphes en tant que corps, tu ne demandes pas à ce qu'ils soient isomorphes en tant que $k$-algèbres ?

Sinon, je ne sais pas si ce que dit Math Cross est bon... Si les scalaires de $k(G)$ sont envoyés sur autre chose que des scalaires $k(H)$, alors $k(G)$ est isomorphe à $k(H)$ en tant que $k$-algèbres, mais pour une structure de $k$-algèbre sur $k(H)$ qui est différente de celle habituelle, ce qui pourrait peut-être faire changer le degré de transcendance, non ?

D'autre part, je n'ai pas de solution au problème proposé, mais je crois bien que si $\mathbb{C}[G]$ et $\mathbb{C}[H]$ sont isomorphes en tant que $\mathbb{C}$-algèbres, alors $G$ et $H$ le sont. En effet, le groupe [EDIT : Ce n'est pas un groupe, ce qui suit est faux, voir plus bas.] multiplicatif des morphismes de ces algèbres vers $\mathbb{C}$ est isomorphe au dual de $G$ vu comme groupe abélien discret. En particulier, si $\mathbb{C}[G]$ et $\mathbb{C}[H]$ sont isomorphes en tant que $\mathbb{C}$-algèbres, alors $G$ et $H$ ont des groupes duaux isomorphes, et donc sont isomorphes, par dualité de Pontryagin.

@Maxtimax : Merci pour ces informations ! Faudra qu'à l'occasion, je voie ce plongement de $\mathbb{C}(X)$ dans $\mathbb{C}$ dont tu parles !

@G.L. : Ah voui, voui, avec ce $k$-là, d'accord... Mmmmh... Bon ben j'ai, pour l'instant, plus aucune idée sur ton problème... Merci pour cette histoire de théorie des modèles, maintenant je saurai où chercher pour me renseigner !

Pour Georges Abitbol, il est faux que si $\mathbb{C}[G]$ et $\mathbb{C}[H]$ sont isomorphes (même en tant que $\mathbb{C}$-algèbre) alors $G$ et $H$ le sont (en tant que groupes). On peut penser à prendre $G=D_4$ le groupe des isométries du carré et $H=\mathbb{H}_8$ le groupe des quaternions:
on a $\mathbb{C}[G]=\mathbb{C}[H]=\mathbb{C}^4\times M_2(\mathbb{C})$. De façon générale, la classe d'isomorphie de $\mathbb{C}[G]$ est donnée par les dimensions des représentations irréductibles du groupe $G$.

@Vincent : je ne sais pas si l'argument de Georges Abitbol est valable ou pas (je ne connais pas assez la théorie des représentations) dans ce cas, mais ici on parle de groupe abéliens sans torsion : tous tes exemples sont finis et en particulier ont de la torsion (d'ailleurs tes deux premiers exemples ne sont pas abéliens)

Selon l'article cité par df, le corollaire 2 a comme application : si $G$ est abélien sans torsion, alors pour tout groupe $H$, $FG\simeq FH$ implique $G\simeq H$; où le premier isomorphisme est un $F$-isomorphisme. Cela confirme ici, avec $F=\mathbb{C}$ ce qu'annonçait Georges Abitbol (même si la preuve est différente)

Mon raisonnement ne marche pas (merci Vincent), je vais expliquer pourquoi, en espérant que ce soit instructif.

Notons $Char(A)$ l'ensemble des formes linéaires multiplicatives sur la $\mathbb{C}$-algèbre $A$. $Char(A)$ n'est pas un groupe, pour la multiplication point par point. C'est idiot mais c'est là que je me suis trompé. Par exemple, si $X$ est un ensemble à deux éléments, les deux caractères de l'algèbre des fonctions à valeurs complexes sur $X$ donnés par l'évaluation en les deux points sont tels que leur produit n'est pas linéaire.

Dans notre cas, l'application qui, à un morphisme de $G$ vers $\mathbb{C}^*$, associe son prolongement par linéarité, qui est un élément de $Char(\mathbb{C}[G])$, est bijective, mais pas un isomorphisme (puisqu'à droite, il n'a pas de groupe), d'où le fait annoncé par Vincent selon lequel l'algèbre d'un groupe abélien fini ne se souvient que du cardinal de son dual.

En outre, l'application qui, à un élément $a$ de l'algèbre de $G$ associe l'application sur le dual de $G$ qui envoie $\chi$ sur $\chi(a)$ est injective, et donc est un isomorphisme, d'après les dimensions, qui témoigne de l'isomorphie annoncée par Vincent.

Mille excuses pour les erreurs.