Matrice rationnelle
Réponses
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Si $\|\cdot\|$ est une norme, $\pi\|\cdot\|$ en est une autre. Or $\|M\|$ et $\pi\|M\|$ ne sont pas tous deux des nombres algébriques.
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Oui mais justement cela ne revient-il pas à changer la matrice $M$ en une matrice $M'$ qui n'est plus à coefficients rationnels ?
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Math Coss ne change pas la matrice mais la norme. Comme une norme d'opérateur est associée à une norme sur l'espace vectoriel sous-jacent, cela prouve que ce que tu dis est faux en général.
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L'argument ne me "plait" pas .
Bon, c'est vrai pour la norme euclidienne. On a $\Vert M \Vert=\sqrt{\lambda_{max}(M^TM)}$, le polynôme caractéristique de $M^TM$ étant à coefficients rationnels, le résultat s'ensuit. (sauf erreur ) -
Même (mauvais ?) esprit : $\|M\|^2 = a_{11}^2+\pi a_{12}^2+\pi^2 a_{21}^2+\mathrm{e}a_{22}^2$ (avec des modules si on veut passer sur les complexes).
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