Théorème spectral

dfshr8
dfshr8
dans Algèbre
Bonsoir,

Je m'aperçoit que dès que je mets les mains dans le cambouis je ne sais plus faire grand chose...
Comment procédez vous (si vous pouvez détaillez svp) pour résoudre l'exercice qui suit ?

https://snag.gy/wUk3SJ.jpg

Merci

[size=large]Merci de

1) faire attention à l'orthographe (5 fautes sans compter le titre que j'ai corrigé)

2) joindre les images au message et non mettre un lien vers un autre site.

JLT[/size]

Edit: fautes corrigées; pour les images je ne peut les stocker sur ma machine je n'ai pas d'autres choix (est ce un problème ? Si oui peux tu m'expliquer par MP, merci).

Réponses

  • dfshr8
    dfshr8
    Ma stratégie consiste à diagonaliser ma matrice en "espérant" que mes vecteurs propres soient orthogonaux. S'ils ne le sont pas j'opère un "Gramm Schmidt" dans chaque espace propre (car les espaces propres sont déjà orthogonaux deux à deux je crois).

    Maintenant une telle diagonalisation ne me semble pas évidente...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu as déjà trois vecteurs propres qui te sont donnés.
  • Chalk
    Chalk
    dfshr8 a écrit:
    pour les images je ne peut les stocker sur ma machine je n'ai pas d'autres choix (est ce un problème ? Si oui peux tu m'expliquer par MP, merci)
    Oui c’est un problème, quand on tombe sur ton message dans 1 an qui te dit que l'image sera toujours hébergée ?
  • flipflop
    flipflop
    Salut,

    Vu la forme de ta matrice. On peut le faire à la main.

    On a : 16, 9 et 0 sont valeurs propres (avec 0 valeur propre double cf rang de la matrice) et un petit coup de trace donne la dernière $2$ je pense ...
  • dfshr8
    dfshr8
    @Skyffer: ah oui je n'y avais pas pensé! (pour le moment je ne peux pas trop faire autrement mais j'aurais en principe un nouveau pc en septembre! j'aurai donc la possibilité d'enregistrer des images puis les effacées).

    @Flipflop: jolie!

    En bon flemmard (pour la résolution de système linéaire) je fais appel à dcode: https://snag.gy/6QKxI4.jpg

    Bizarrement il me donne directement 4 vecteurs orthogonaux. Ceci reflète t'il le cas général ? Lorsque l'on diagonalise je crois que l'on peut prouver que les espaces propres sont orthogonaux (comment faire) ? Mais qu'en est il au sein d'un espace propre, ici est ce un coup de chance que le calculateur nous renvoie des vecteurs orthogonauxpour la valeur propre 0 ? (je suis très impressioné par ce calculateur!)
  • Poirot
    Poirot
    Les espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont orthogonaux deux à deux. La plupart ici sont de dimension $1$ donc il n'y a rien à faire au niveau du choix des vecteurs propres correspondant à ceux-ci pour avoir l'orthogonalité, ensuite il te suffit de prendre une base orthogonale de l'espace propre qui est de dimension $2$. Par contre avoir des vecteurs orthogonaux ne te suffit pas à avoir une matrice de passage orthogonale, attention, il faut quelque chose de plus que je te laisse chercher.
  • remarque
    remarque
    Pour joindre sur le forum une image à un message, le mystérieux lien suivant mérite d'être exploré :

    Edit : si tu ne peux pas la stocker sur le disque ou dans le SSD de la machine avec laquelle tu postes, c'est sans doute plus difficile, mais j'ai du mal à croire que ce soit complètement impossible, puisque tu arrives à transférer ces images sur un autre site. Que se passe-t-il quand tu cliques sur le mystérieux lien ?66392
  • dfshr8
    dfshr8
    Ah oui je crois qu'il y a une confusion dans le vocabulaire: on devrait plutôt dire une matrice d passage "orthonormale" pour indiquer que nos vecteurs dans la matrice de passage sont de norme 1. Merci pour le rappel.

    PS: j'ai trouvé une réponse
    https://snag.gy/fBd4Mg.jpg

    Ma stratégie était donc bien la bonne
  • dfshr8
    dfshr8
    @Remarque: pour ça il faut l'enregistrer sur un disque dur or je ne peux plus ..
  • dfshr8
    dfshr8
    Il semble qu'il y ait donc une erreur sur cette page: https://fr.wikipedia.org/wiki/Décomposition_en_valeurs_singulières#Exemple puisque l'une des valeures singulières est $\sqrt{2}$ et non $\sqrt{5}$. Si quelqu'un sait comment modifier une page wikipédia...
  • dfshr8
    dfshr8
    J4ai pris le temps de tout poser comme suit et pourtant je n'obtiens pas le résultat escompté ! Je ne comprends pas où est mon erreur...
    https://snag.gy/uiSDWz.jpg
  • dfshr8
    dfshr8
    Je devais normalemenbt obtenir $U_1MV_1=D^0.5$

    PS: j'&i gardé les notations wikipédia
  • Math Coss
    Math Coss
    Ton calcul de ${}^tMM$ n'est pas correct.
  • dfshr8
    dfshr8
    Merci!

    Je ne comprends pas comment fonctionne R:

    1) Je rentre les données:
    https://snag.gy/SONH2d.jpg

    2) Les valeurs singulières
    https://snag.gy/9CQBmw.jpg

    3)
    https://snag.gy/zLaqeB.jpg
    https://snag.gy/cljp1U.jpg

    e ne comprends pas le lien avec wikipédia, $M$ est de dimenbsion 4x5, donc on s'attend pour U à une matrice 4x4 (ok) et pour V a 5x5 (ca ne va pas dans R V n'est pas carrée)...
  • Math Coss
    Math Coss
    Le manuel explique le format.

    Pour R, au lieu que $D$ soit une matrice du même format que la matrice de départ, elle est carrée de taille $4\times4$. Ici : $D=\mathrm{diag}(4,3,\sqrt{5},0)$.

    Pour wikipedia, la matrice $\Sigma$ a le même format que $M$, on l'obtient en ajoutant une colonne de zéros à $D$. On obtiendrait une matrice « $V$ de wikipedia » à partir d'une matrice « $V$ de R » en ajoutant une colonne aux $4$ colonnes de « $V$ de R » pour en faire une base orthonormée. Mais cette colonne n'intervient pas dans le calcul de $U\,\Sigma\,{}^tV$ à cause de la colonne supplémentaire de zéros de $\Sigma$.

    Pour vérifier que tout ça n'est pas universel, voilà ce que ça donne en Sage : $\Sigma$ est bien $4\times5$ et $V$ est $5\times5$ comme chez wikipedia. 
    sage: M = Matrix(RDF,4,5,[1,0,0,0,2,0,0,3,0,0,0,0,0,0,0,0,4,0,0,0]); M

[1.0 0.0 0.0 0.0 2.0]
[0.0 0.0 3.0 0.0 0.0]
[0.0 0.0 0.0 0.0 0.0]
[0.0 4.0 0.0 0.0 0.0]

sage: U,Sigma,V = M.SVD()
sage: U;Sigma;V

[ 0.0  0.0  1.0  0.0]
[ 0.0  1.0  0.0  0.0]
[ 0.0  0.0  0.0 -1.0]
[ 1.0  0.0  0.0  0.0]

[             4.0              0.0              0.0              0.0              0.0]
[             0.0              3.0              0.0              0.0              0.0]
[             0.0              0.0 2.23606797749979              0.0              0.0]
[             0.0              0.0              0.0              0.0              0.0]

[               -0.0                -0.0 0.44721359549995787                 0.0 -0.8944271909999157]
[                1.0                 0.0                 0.0                 0.0                 0.0]
[                0.0                 1.0                 0.0                 0.0                 0.0]
[               -0.0                -0.0                 0.0                 1.0                 0.0]
[                0.0                 0.0  0.8944271909999157                 0.0  0.4472135954999581]

sage: U*D*V.transpose()

[0.9999999999999999                0.0                0.0                0.0 1.9999999999999998]
[               0.0                0.0                3.0                0.0                0.0]
[               0.0                0.0                0.0                0.0                0.0]
[               0.0                4.0                0.0                0.0                0.0]
  • dfshr8
    dfshr8
    Effectivement je viens de m'en rendre compte! Mais merci pour ces explications très fournies ;) J'ai fait de même avec Scilab (que je trouve beaucoup plus simple et intuitif que R pour le calcul matriciel) et j'obtient le même résultat que toi . Par contre attention le 
    U
    que tu mentionne sous sage est en fait $U^T$ en prenant $U=[U_1 \\U_2]$ sous wikipédia

    J'imagine que sous Sage on ne peut faire la %SVD de manière exacte (calcul formel) ?
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