Automorphismes de An
Bonjour à tous,
Je me souviens avoir lu dans le passé le fait que $\mathrm{Aut}(\mathop{\mathfrak{A}}\nolimits_n) \simeq \mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_n$ pour $n \ne 6$ (peut être pour tout $n$?).
Cependant je n'arrive pas du tout à trouver une preuve de ce résultat sur internet.
Connaissez vous des livres traitant de cette démonstration?
Ou si vous connaissez les grandes étapes de la démonstration, ça me va également.
Par ailleurs je sais que les automorphismes de $\mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_n$ ne sont pas tous intérieurs pour $n=6$. Mais a-t-on quand même $\mathrm{Aut}(\mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6) \simeq \mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6$ ?
Merci par avance de vos réponses à ces questions.
Cordialement
Je me souviens avoir lu dans le passé le fait que $\mathrm{Aut}(\mathop{\mathfrak{A}}\nolimits_n) \simeq \mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_n$ pour $n \ne 6$ (peut être pour tout $n$?).
Cependant je n'arrive pas du tout à trouver une preuve de ce résultat sur internet.
Connaissez vous des livres traitant de cette démonstration?
Ou si vous connaissez les grandes étapes de la démonstration, ça me va également.
Par ailleurs je sais que les automorphismes de $\mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_n$ ne sont pas tous intérieurs pour $n=6$. Mais a-t-on quand même $\mathrm{Aut}(\mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6) \simeq \mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6$ ?
Merci par avance de vos réponses à ces questions.
Cordialement
Réponses
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Wikipedia (en anglais) donne plusieurs descriptions des automorphismes exceptionnels de $S_6$ et $A_6$.
En général, la conjugaison par un élément de $S_n\setminus A_n$ donne des automorphismes extérieurs de $A_n$ et la classe d'un tel automorphisme engendre $\mathrm{Out}(A_n)$ sauf pour $n=2,6$. Pour $n=6$, la restriction d'un automorphisme extérieur de $S_6$ est un automorphisme extérieur et ces deux types d'automorphismes engendrent $\mathrm{Out}(A_6)$. -
J'en ai vu une démonstration récemment dans "The Finite Simple Groups" de Robert Wilson chez Springer.
-
D'accord merci pour le lien Math coss et pour la référence Poirot !
Juste une dernière petite question: Il est mentionné sur le lien que l'on a $\mathrm{Aut}(\mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6) \simeq \mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6 \rtimes C_2$.
On a donc 2*6! automorphismes dans $\mathop{\mathfrak{S}}\nolimits_6$? Car il me semblait avoir lu (dans le passé) qu'on en avait 6!.
Cordialement -
Le centre d'un groupe $G$ est le noyau du morphisme surjectif canonique $G\to \mathrm{Int}(G)$. Tu sais sans doute que le centre du groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$, pour tout $n>2$, est réduit à l'identité. Donc, pour tout $n>2$, $G\to \mathrm{Int}(G)$ est un isomorphisme. S'il y avait $6!$ automorphismes de $\mathfrak{S}_6$, cela voudrait dire que tous les automorphismes de $\mathfrak{S}_6$ sont intérieurs.
-
Ah oui effectivement.
Merci à tous.
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