Spectre d'une matrice inverse

Zimbabou
Zimbabou
dans Algèbre
Il me paraissait évident et juste (...) que si A est une matrice complexe d'ordre n et qu'on la supposait inversible, alors le spectre de la matrice inverse était composé des inverses de chacune des valeurs propres de A (utilisé dans sujet agreg interne 2017 question 13b)

dans leur rapport ils précisaient de passer par la trigonalisation en tant que preuve or pour moi ça me parait direct avec la définition des val/vect propres ...

merci de m'éclairer ;)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Oui c'est évident avec la définition et l'inversibilité de la matrice. $$Ax = \lambda x \Leftrightarrow A^{-1}x = \lambda^{-1} x$$ car $\lambda \not = 0$ et comme $x \not = 0$ par définition d'un vecteur propre, c'est bon.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    Je ne vois pas alors pourquoi ils précisent ceci, j'ai du louper un truc ... ;)66496
  • Poirot
    Poirot
    J'imagine que ça leur sert dans leur question, mais il n'y a pas à chercher très loin pour obtenir simplement le résultat sur le spectre.
  • Laborieux
    Laborieux
    Il me semble que ta remarque suffit pour vérifier la propriété (P+), mais pas pour démontrer que la suite $U_l$ est bien définie pour tout $l$, puisqu'on ne suppose plus $A$ diagonalisable.
  • john_john
    john_john
    Il faut connaître l'énoncé exact : s'il s'agit seulement de la liste des v.p. et des dimensions des sevp, l'équivalence $Ax = \lambda x \Leftrightarrow A^{-1}x = \lambda^{-1} x$ suffit largement. Si l'on demande de comparer les multiplicités, alors le recours à $\chi_A$ me semble nécessaire.

    En revanche, la triangulation n'est sans doute pas le bon moyen de traiter la seconde question.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    @ laborieux : oui pour l'inclusion dans O+ ça me parait largement suffisant, pour ce qui est du bien défini et Ul vérifie P+ une petite récurrence me semble largement suffisant ...
    voilà le sujet66504
  • Laborieux
    Laborieux
    Oui, mais dans cette récurrence, pour montrer que $U_{l+1}$ est inversible, on va chercher à utiliser les informations sur les valeurs propres, et à montrer que $0$ n'est pas valeur propre de $U_{l+1}$.

    Il n'y a pas de résultat général donnant les valeurs propres de la somme de deux matrices en fonction des valeurs propres de chacune. Ici, on peut avoir les valeurs propres de $U_{l+1}$ en utilisant que $U_l$ et $U_l^{-1}$ sont trigonalisables dans la même base.
  • bisam
    bisam
    En fait le problème est surtout de déduire le spectre de la somme de 2 matrices (ici A et son inverse) connaissant les deux spectres.
    On ne peut pas en dire grand chose en général... sauf si, comme ici, les deux matrices sont trigonalisables dans une même base.
    C'est à mon avis sur ce point que veut insister le compte-rendu du jury. Mais sa formulation est maladroite car le fait d'argumenter que le spectre de A^-1 est l'inverse de celui de A n'est pas du tout le point essentiel.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    Oui Bisam et la trigonalisation permet surtout de répondre à la question b ... la a on peut faire avec ou sans ... merci pour vos contributions :)
  • Laborieux
    Laborieux
    Désolé d'insister Zimbabou, mais pour la 13 a), sans la trigonalisation, comment prouver simplement que $A+A^{-1}$ est inversible ?
    Je propose une preuve ci-dessous, mais ça ne me parait pas moins lourd que d'utiliser la trigonalisation, et l'argument est similaire (théorème de D'Alembert). Y a-t-il un argument plus direct ?

    ~~~~

    S'il existait $x\neq 0$ dans le noyau, il vérifierait : $A^2\;x=-x$, donc $-1$ serait valeur propre de $A^2$ Mais je ne vois pas comment conclure.
    et $i$ serait valeur propre de $A$ car $A$ est à coefficient complexe, et donc les polynômes caractéristiques de $A$ et $A^2$ sont scindés.
    Mais cela est exclu par hypothèse ($O^+$ est l'ensemble des complexes de partie réelle strictement positive).
  • Poirot
    Poirot
    Les vecteurs propres de $A$ et $A^{-1}$ étant les mêmes (par la démonstration précédente concernant le spectre), les valeurs propres de $A + A^{-1}$ sont les $\lambda + \lambda^{-1}$ avec $\lambda$ valeur propre de $A$. Une de ces quantités n'est nulle que si $i$ ou $-i$ est valeur propre de $A$, ce qui est exclu par hypothèse.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    Coucou Laborieux, j'ouvre mes notes et je te dis comment j'avais fait . Par contre suis pas du tout au point sur Latex, j'ai vu que si on écrivait cela entre $\$~\$$ ça donnait la formule mais pas du tout expert avec les notations si t'as un lien avec des exemples je prends ;)

    Donc 13a on a deux hypothèses sur la matrice $A$ : inversible et ses valeurs propres sont dans $O_+$

    Je pose $M=1/2(A+A^{-1})$ et j'appelle $\alpha$ une valeur propre de $A$ et $X$ le vecteur propre associé.

    On obtient $MX=1/2AX+1/2A^{-1}X=f(\alpha)X$ ce qui signifie que $f(\alpha)$ est vp de la matrice $M$ ($ f$ est définie à la partie III).

    On peut résumer par l'équivalence $\alpha$ vp de $A$ équivalent à $f(\alpha)$ vp de $M$.

    Par hypothèse les $\alpha$ appartiennent à $O_+$ et on a prouvé au 11a que $O_+$ était stable par $f$ donc les vp de $M$ sont dans $O_+$ donc forcément non nulles - et par suite $M$ est nécessairement inversible.

    Pour la récurrence qui suit on fait pareil pour montrer que $U_\ell$ est inversible ...

    Voilà mon raisonnement ...

    [En $\LaTeX$, ce sont toutes les expressions mathématiques (y compris les lettres) que l'on encadre par des $\$$. ;-) AD]
  • Balix
    Balix
    My 2 cents
    On peut résumer par l'équivalence $\alpha $ vp de A équivalent à f( $\alpha $) vp de M.

    La réciproque de l'équivalence est vraie mais elle n'est pas triviale, elle ne marche que parce que le corps de base est clos. Il faudrait de plus argumenter que l'inverse de A est un polynôme en A. C'est la difficulté des concours/examens, si on énonce un résultat (juste de préférence (:P)), est ce que c'est supposé du cours ou il faut démontrer ?

    Or c'est cette réciproque qui va servir ici pour montrer que toute vp de M est l'image par f d'une vp de A est donc dans O+.

    La trigonalisation simultanée (même interrogation, on dit directement que A et $A^{-1}$ sont triangulaires dans une même base ou on écrit une ligne $A^{-1} = (P^{-1}TP)^{-1}=P^{-1}T^{-1}P$ ? Moi je suis d'avis de l'écrire vu la longueur de l'argument, ça évite de donner l'impression de bluffer)
    permet de régler le problème en 5 lignes.

    Les 2 manières de faire tiennent au fait que le corps de base est algébriquement clos, mais dans celle suggérée par le jury, on est surs que le résultat "C algébriquement clos => A trigonalisable" est un acquis du cours.

    Le récurrence me semble immédiate aussi à moins que j'ai loupé quelque chose.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    effectivement la réciproque je ne l'avais pas faite et du coup n'avais pas utilisé l'argument commun sur le corps C.

    D'ailleurs où intervient C dans cette réciproque ? merci ;)
  • Balix
    Balix
    Poly de JE Rombaldi

    C'est à la page 2.
  • Zimbabou
    Zimbabou
    oki vu sauf qu'ici la fonction f n'est pas un polynôme je regarderai sa démo pour voir si adaptable demain, merci ;)
  • Balix
    Balix
    Si $A$ est inversible, $A^{-1}$ est un polynôme en $A$, donc $f$ est un polynôme en $A$.
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