Dual du produit tensoriel
Bonjour,
je lis partout que l'espace des fonctions multilinéaires $E_1\times\dots\times E_k \to \mathbb{K}$ où les $E_i$ sont des $\mathbb{K}$ espaces vectoriels se note $E_1^*\otimes\dots\otimes E_k^*$ (où l'étoile désigne le dual).
Je voulais pour m'amuser repartir de la propriété universelle du produit tensoriel. En considérant une fonction bilinéaire $f\colon E_1\times E_2 \to \mathbb{R}$, je sais qu'il existe une fonction linéaire $\tilde{f}\colon E_1\otimes E_2 \to \mathbb{R}$. C'est une forme linéaire et donc je peux écrire $\tilde{f}\in (E_1\otimes E_2)^*$
Pour finir l'affaire, j'identifie $\tilde{f}$ avec $f$ et il reste à montrer que $(E_1\otimes E_2)^* = E_1^*\otimes E_2^*$ ce qui semble être fait dans la discussion http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,732995,733075 par exemple.
Est-ce que ce raisonnement est bon ?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da
Edit : Correction du premier paragraphe, merci GaBuZoMeu
je lis partout que l'espace des fonctions multilinéaires $E_1\times\dots\times E_k \to \mathbb{K}$ où les $E_i$ sont des $\mathbb{K}$ espaces vectoriels se note $E_1^*\otimes\dots\otimes E_k^*$ (où l'étoile désigne le dual).
Je voulais pour m'amuser repartir de la propriété universelle du produit tensoriel. En considérant une fonction bilinéaire $f\colon E_1\times E_2 \to \mathbb{R}$, je sais qu'il existe une fonction linéaire $\tilde{f}\colon E_1\otimes E_2 \to \mathbb{R}$. C'est une forme linéaire et donc je peux écrire $\tilde{f}\in (E_1\otimes E_2)^*$
Pour finir l'affaire, j'identifie $\tilde{f}$ avec $f$ et il reste à montrer que $(E_1\otimes E_2)^* = E_1^*\otimes E_2^*$ ce qui semble être fait dans la discussion http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,732995,733075 par exemple.
Est-ce que ce raisonnement est bon ?
Je vous remercie par avance pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da
Edit : Correction du premier paragraphe, merci GaBuZoMeu
Réponses
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Tu devrais corriger ton premier paragraphe.
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De mn téléphone : en dimension finie HELAS il y a des égalités "regrettables" de dimension ... Les espaces vectoriels comme réalisations logiques provoquent effectivement des pseudo égalités :
A et1 B == A ou1 B
A et2 B == A ou2 B
qui sont un peu tristes??
Mais fondamentalement c'est quand même rdommage de faire comme si:
(A tenseur B )=> corpsK est la même chose que (A =>K) tenseur (B=>K)
Tous ces trucs viennent essentiellement du fait que dim(A) = dim(nonA) qui n'est vrai qu'en dimension finie.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Non A voulant dire "dual de A"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour,
@GaBuZoMeu : oupps merci. J'avais oublié de modifier les croix.
@christophe c : j'avais oublié de préciser que je parlais en dimension fini. Pour le coté philosophique je suis bien incapable de me prononcer sur le bien fondé de l'affaire. Pour le coté pratique, je voulais me convaincre en essayant de trouver une construction qui "explique" la notation $E_1^*\otimes \dots\otimes E_n^*$ en fait.
Du coup, ce que j'ai écrit dans le premier message est complétement farfelu ou y a-t-il un fond de vérité ? Ca me permet aussi de réutiliser la propriété universelle que vous m'aviez aidé à comprendre il y a quelques mois ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1452752,page=1
Merci pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da -
Hélas je suis sur mon téléphone et ne vois que des "matherror" à la place latex. Mais de mémoire il me semble que si on s'autorise à INVERSER les morphismes canoniques injectifs en appelant "canoniques" les morphismes obtenus alors on peut légitimer "canoniquement" de voir L(A,B) comme étant A^* tenseur B.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Au couple $(\varphi,\psi)\in E^*\times F^*$, on associe la forme bilinéaire
$$\begin{aligned} E\times F&\longrightarrow K\\ (x,y)&\longmapsto \varphi(x)\,\psi(y)\;.\end{aligned}$$
Cette forme bilinéaire peut s'identifier (par la propriété universelle du produit tensoriel qui donne un isomorphisme canonique $\mathrm{Bil}(E\times F,G)\simeq \mathrm{Lin}(E\otimes F, G)$) à une forme linéaire dans $(E\otimes F)^*$.
L'application $ E^*\times F^* \to (E\otimes F)^*$ ainsi définie est visiblement bilinéaire et donne donc (toujours cette propriété universelle) une application linéaire "canonique" $ E^*\otimes F^* \to (E\otimes F)^*$, dont on montre par le procédé classique qu'elle est injective. Si $E$ et $F$ sont de dimensions finies, $ E^*\otimes F^*$ et $(E\otimes F)^*$ ont même dimension $\dim(E)\times \dim(F)$, et donc ... -
...et donc sont isomorphes. Merci beaucoup GaBuZoMeu.
Au final, dans ce type de construction je me rends compte qu'il faut toujours utiliser la propriété universelle en "cascade" en trouvant systématiquement des formes bilinéaires comme point d'entrée mais je me rends compte aussi que je galère toujours autant pour mettre les tuyaux en place.
Le procédé classique dont tu parles c'est toujours l'idée de prendre une famille libre etc pour montrer que le noyau de l'application linéaire "canonique" est réduit à l'élément nul ?
Cordialement,
Mister Da -
Oui. Peux-tu le faire en détail pour toi ?
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mais je me rends compte aussi que je galère toujours autant pour mettre les tuyaux en place.
La situation présente est particulière car on sait qu'à un moment ou un autre on va faire une passe magique. Si les opérations utilisées étaient toutes "mécaniques", tu aurais prouvé :( A ou B ) => (A et
Ou plus précisément, non(A et entraine (nonA) et (nonB)
Or même la logique classique, qui est maximale n'y parvient pas. Et un "canonisme" de $E^{**}$ dans $E$ ne suffira pas non plus puisque la logique classique l'admet.
Comme le montre le post de GBZM, on arrive à un moment à<< [(nonA) et (nonB)] => non(A et >>
puis .... hop, la correspondance avec la logique se rompt, car on retourne la flèche en achetant ce droit contre sa bijectivité.
Précision: j'ai remplacé $\otimes$ par "et" et $x\mapsto x^*$ par $x\mapsto non(x)$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Désolé pour ma lenteur, les diagrammes ne passent pas sur le forum car à un moment j'utilise [ u ] pour faire une flèche vers le haut et le BBcode semble prendre la main en voulant souligner et ne sachant pas invalider une balise...
Enfin bref, j'ai mis ma réponse en capture.
Cordialement,
Mister Da -
Le mot "canonique" mis entre guillemets n'est pas une convention officielle, mais ça marque le "supplément de magie" que je t'ai décrit à mon post précédent. Faire ce que tu viens de faire ce n'est pas tout à fait comme envoyer $E$ dans $L(L(E,F),F))$ via $a\mapsto (f\mapsto f(a))$ non plus, faut bien le mentionner "quelque part". S'autoriser à "retourner" les bijection n'est pas anodin (la preuve ça t'a donné une preuve de A ou B entraine A et B dans un espace de rêve convenable :-D )Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Bonjour,
@christophe c, en fait je ne vois pas le passage satanique dans ce qu'on vient de faire. On utilise à tour de bras la propriété universelle, le coté moins canonique c'est le choix des fonctions bilinéaires ? C'est ça qui rend la chose arbitraire ?
@GaBuZoMeu,
1°) j'ai effectivement oublié de mentionner la bilinéarité (comme c'était clair dans mon esprit j'ai oublié de l'écrire sinon je ne pourrais pas utiliser la propriété universelle puisque c'est le point d'entrée) je vais le rajouter dans mon document. que $A$ est une application bilinéaire qui une fois nourrie donne des applications bilinéaires et $B$ est une application bilinéaire qui une fois nourrie donne une application linéaire.
2°) Si c'est complétement inutile, il est probable que tu penses à ce que j'ai en tête... Je pensais qu'il fallait prendre une famille de $\varphi_i$ libre et montrer que les $\psi(y)$ sont nulles. C'est inutile car le problème est complètement symétrique ? En fait comme le produit tensoriel n'est pas commutatif j'ai pensé que c'était nécessaire, mais au final ce qui est important c'est la linéarité de part et d'autre c'est ça ?
Merci beaucoup pour votre aide et patience.
Cordialement,
Mister Da -
Je te l'ai détaillé pourtant (enfin je n'ai pas dit satanique). Si "tout était bateau" tu aurais prouvé un truc en logique linéaire qui n'est même pas vrai en classique.
A un moment tu as (A* tenseur B*) flèche ((A tenseur*) et comme cette flèche est une bijection tu la retournes.
Je ne pense pas que tu aies souvent vu des gens dire en maths " bon je vous ai prouvé bijectivement X=>Y" je vous affirme donc "donc Y=>X"Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Pour êtrelus précis: si tu parvenais à prouver un turc sans utiliser la dim finie et bin tu aurais forcément obtenu un THEOREME LOGIQUE.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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@GaBuZoMeu, oups j'ai oublié de mettre l'indice mais c'est ce que je voulais faire (comme dans mon message d'avant en fait). Un grand merci, c'est beaucoup plus clair maintenant, j'aurai galéré à trouver la démarche sans toute ton aide !
@christophe c ah ok, je crois que je commence enfin à percoler. On a une injection, en dimension finie comme l'espace de départ et d'arrivée ont la même dimension la flèche devient une bijection sauf qu'en logique pure, l'argument de finitude de la dimension n'est pas recevable en gros c'est ça ? Dans ce cas c'est la même histoire (enfin je ne vois pas la différence) quand on identifie un espace avec son bidual non ? On a une injection $v\mapsto(\ell\mapsto \ell(v))$ qui devient isomorphisme en dimension finie. Pourtant on parle bien de canonicité... (désolé je comprends vite à condition de m'expliquer très très longtemps) -
Oui, on parle de canonicité quand on parle de la flèche $E\to E^{**}$, que $E$ soit de dimension finie ou pas, puisque c'est la flèche
$$x\mapsto (f\mapsto f(x))$$
qui réalise l'axiome A=>((A=>B)=>B) et où on ne demande à personne d'être précisé (A peuvent être des formules, des ensembles, des structures, etc), c'est très robuste et de plus formellement, ça ne consiste qu'à permuter deux hypothèses en passant de :
la formule universellement incontestée :-D (A=>B) => (A=>B) à la formule A=>((A=>B)=>B).
Il faut bien voir que (A=>B) => (A=>B) est essentiellement la même chose que [(A=>B) et A] =>B et que
A=>((A=>B)=>B) est essentiellement la même chose que [A et (A=>B)]=>B
Mais à ma connaissance, les gens qui évoquent la flèche de $E^{**}$ dans $E$ inverse de la flèche précédent quand $E$ est de dimension finie ne disent "je prends la flèche canonique", ou alors, ils se justifient un petit peu plus que cela et ne se contentent pas de l'asséner brutalement.
Je te le redis, les espaces vectoriels forment une sémantique complète pour la logique (linéaire), autrement dit, si tu ne te limites pas à la dimension finie, en gros, toute formule que tu ne peux pas prouver (linéairement) est telle que si tu la regardes comme un espace vectoriel décrit avec des lettres pour désigner des espaces inconnus, ledit espace vectoriel est impossible à garantir non nul (sans l'axiome du choix). Alors tu pourrais penser que l'ajout du mot "linéaire" après logique est le petit détail qui change tout, mais en fait non: car il suffit d'ajouter les axiomes
A=>(B=>A) (que tu peux voir comme (A et=>A) )
ainsi que A=>(A et A)
à la logique linéaire pour obtenir la logique habituelle (intuitionniste), dans ce contexte, la différence entre classique et intuitionniste est assez négligeable.
Bref, tout ça pour te répéter que dans ce domaine, si tu veux vraiment progresser, c'est un excellentissime conseil à suivre que me lire quand je te dis que tu peux, chaque fois que tu écris $E^*$, "imaginer que tu écris $non(E)$, chaque fois que tu écris $E\otimes F$, imaginer que tu écris $[E et F]$ et chaque fois que tu écris $L(E,F)$, imaginer que tu écris $E=>F$.
Par ailleurs, ce conseil est "agréable à suivre" et "pas fatigant". Et je te le redis, en dimension finie, les espaces vectoriels réalisent une sorte de "petite magie" qui est de rapprocher très près le ou et le et, et même encore plus fort, de rapprocher les DEUX ou et les DEUX et.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
D'accord, merci beaucoup pour toutes tes explications. J'ai relu plusieurs fois ton message et je pense que je vais devoir le relire encore quelques fois.
"si tu veux vraiment progresser"
Disons que là je suis au taquet voire à 110% de ma capacité d'abstraction ! Je fais vraiment des mathématiques très appliquées. Je viens sur ce forum essentiellement pour ma culture personnelle et pour me convaincre de la légitimité de certains calculs que je fais de manière assez empirique (je sais qu'ils me donneront la bonne réponse mais j'ignore parfois pourquoi, ce qui intellectuellement n'est pas très satisfaisant).
Bref, je suis très terre à terre. Par exemple l'origine de cette discussion vient tout simplement de ça :
en considérant un espace vectoriel $E$ de dimension finie, je vois un tenseur $p$ contravariant et $q$ covariant comme l'application linéaire $$T\colon\underbrace{E^*\times\dots\times E^*}_{p~\text{fois}}\times\underbrace{E\times \dots \times E}_{q{\text{ fois}}}\to\mathbb{R}$$ En prenant $\{e_i\}$ une base de $E$ de base duale $\{\varepsilon^i\}$, les composantes de ce tenseur sont définies par $${T^{i_1\dots i_p}}_{j_1\dots j_q} = T(\varepsilon^{i_1},\dots,\varepsilon^{i_p},e_{j_1},\dots,e_{j_q})$$
et souvent il est commode d'écrire $$T = {T^{i_1\dots i_p}}_{j_1\dots j_q} e_{i_1}\otimes\dots\otimes e_{i_p}\otimes\varepsilon^{j_1}\otimes\dots\otimes\varepsilon^{j_q} \in \underbrace{E\otimes \dots \otimes E}_{p~\text{fois}}\times\underbrace{E^*\otimes\dots\otimes E^*}_{q{\text{ fois}}}$$
Quand le tout est écrit sous forme matricielle, ça me parait naturel car c'est mécanique et je vois ça comme une simple notation mais en voulant approfondir, j'étais à milles lieues d'imaginer que se cachait derrière un tel ouragan d'identifications. Personnellement j'ai horreur des identifications car j'ai toujours la sensation de ne plus savoir où j'habite mais bon je suis ce que font les autres alors j'essaye de m'y mettre. Et comme d'un autre coté tu me mets en garde j'essaye de comprendre l'impact que ça peut avoir sur ce que je je veux grenouiller dans mon coin.
En tout cas un grand merci à toi et GaBuZoMeu car j'y vois beaucoup plus clair et je me sens bien moins bête ce qui n'est pas désagréable mais bon je me rends compte que j'ai encore beaucoup de route à faire !
Cordialement,
Mister Da -
Re bonjour,
je viens de mettre à plat cette discussion dans un petit document aide mémoire. En guise d'entrainement, je voulais
me faire les dents sur le fait qu'on peut voir le produit $f\otimes g^*$ comme la fonction $g\mapsto g^*(g)f$ où $f\in F$ et $g^*\in G^*$ avec $F$ et $G$ des espaces vectoriels.
En appliquant la propriété universelle sur $B\in\mathrm{Bil}(F\times G^*,\mathrm{Lin}(G,F))$, $(f,g)\mapsto (g\mapsto g^*(g)f)$ on obtient l'application linéaire $\hat{B}\in\mathrm{Lin}(F\otimes G^*,\mathrm{Lin}(G,F))$
En prenant un élément $\sum_i f_i\otimes g_i^*$ où la famille $(f_i)_i$ est libre (on peut toujours se ramener à ce cas quitte à "raccourcir" la somme). Pour que la fonction $g\mapsto\sum_i g_i^*(g)f_i$ soit identiquement nulle, il faut que les $g_i^*$ soient tous nuls, ainsi $\ker\hat{B} = 0_{F\otimes G^*}$ ce qui hisse $\hat{B}$ au rang d'injection canonique.
En dimension finie, $\dim F\otimes G^* = \dim \mathrm{Lin}(G,F) = \dim F\times\dim G$, on peut parler d'isomorphisme "canonique", les guillemets étant mis pour signaler que l'inversion de la flèche canonique n'est pas si innocente que ça.
En dimension infinie on ne peut pas aller plus loin. Toujours est-il qu'on peut identifier $F\otimes G^*$ à un sous-espace de $\mathrm{Lin}(G,F)$ (en le confondant avec son image par $\hat{B}$). Ceci veut dire qu'il existe alors des applications linéaires qui ne pourront pas se mettre sous la forme d'une somme "dyadique" c'est-à-dire une somme finie finie de tenseur du type $f_i\otimes g_i^*$ ?
Pourriez-vous critiquer ce que je viens de dire ? En espérant ne pas avoir écrit trop de bêtises.
Je vous remercie énormément pour votre aide.
Cordialement,
Mister Da -
Bonjour,
je remets une pièce dans le parcmètre. J'ai repensé à ce que j'ai écrit ce week-end. Je ne vois pas de problème particulier mais j'aurais aimé une confirmation de votre part histoire d'être tranquille.
Je vous remercie par avance de votre aide.
Cordialement,
Mister Da -
Pas de remarque particulière.
Tu peux montrer (facilement) qu'une application linéaire $G\to F$ dans l'image de $F\otimes G^*$ est toujours de rang fini. Vois-u le problème quand $G$ et $F$ sont de dimensions infinies ? -
Cool, merci beaucoup ! Me voilà soulagé.
Je suis aussi sec qu'intéressé par ta question.
Avant de voir le problème en dimension finie, je voudrais être sûr que je tiens déjà la route en dimension finie. J'aurais tendance à dire qu'on peut écrire une application linéaire comme une somme finie de tenseurs $f_i\otimes g_i^*$. Je pense secrètement à la décomposition en valeurs singulières. Algèbriquement, après avoir choisi des bases, je peux représenter l'application linéaire par une matrice $M$ et la décomposer $M=USV^T$. Tensoriellement, $M = \sum_{i=1}^r s_i u_i\otimes v_i^*$ avec $r$ le rang ?
J'ai probablement répondu à coté de la plaque mais je n'aime pas rendre une copie blanche.
Cordialement,
Mister Da -
Il n'est pourtant pas difficile de trouver une famille finie de vecteurs de $F$ qui engendre un sous-espace contenant l'image de l'application linéaire associée à $\sum_{i\in I} f_i\otimes g_i^*$.
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Je dirais assez naïvement que cette famille est $\{f_i\}_{i\in I}$ mais ce n'est probablement pas cela que tu attendais comme réponse, si ?
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Je vais me fâcher. N'es-tu pas assez grand pour voir tout seul si cette famille convient ?
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Ah bah non, si tu te fâches pour ça, il y a plein d'autres messages sur le forum où tu auras envie de me pendre !
Pour moi elle convient par construction même et si elle est libre il s'agit d'une base de l'image. -
Non. Par exemple si $G$ est de dimension plus petite que le nombre de $f_i$, tu pourrais avoir un rang plus grand que la dimension de $G$ ?et si elle est libre il s'agit d'une base de l'image. -
Oups... Effectivement j'aurais mieux fait de tourner ma langue 7 fois...
Et du coup en dimensions infinies le problème est que nous nous retrouvons avec potentiellement une somme infinie c'est ça? -
Je ne dirais pas ça comme ça.
Comme je l'ai déjà écrit, les applications linéaires dans l'image de $F\otimes G^*$ sont toutes de rang fini. Question subsidiaire : obtient-on toutes les applications linéaires de rang fini ? -
Merci pour ta patience.
Quand $F$ et $G$ sont de dimensions finies, une décomposition en valeurs singulières me fait dire oui à ta question. Je ne vais pas me hasarder ce soir mais la réponse sera-t-elle négative ?!? -
Le cas où $F$ et $G$ sont de dimensions finies est complètement clair, non ?
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Oui, désolé, la fin de mon message concernait la dimension infinie mais comme j'ai oublié de l'écrire... Je voulais écrire "Je ne vais pas me hasarder au cas de la dimension infinie ce soir mais la réponse sera-t-elle négative ?!?"
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Je te laisse y réfléchir.
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Bonjour,
bon la nuit et l’insomnie qui l'a accompagnée n'ont pas porté conseil... Je dirais sans preuve aucune pour l'instant ($F$ et $G$ de dimensions infinies) qu'avec $F\otimes G^*$ on obtient toutes les applications linéaires bornées (je ne fais pas de différence avec continues) de rang fini. Du coup je serai tenté de dire qu'il manquera les applications non bornées...
D'un autre coté sur wikipédia (https://en.wikipedia.org/wiki/Finite-rank_operator), on apprend qu'un opérateur de rang fini est nécessairement un opérateur borné alors que dans cette discussion https://math.stackexchange.com/questions/1492097/unbounded-operator-of-finite-rank ce n'est a priori pas le cas.
Bref pas très spectaculaire comme message
Cordialement,
Mister Da -
La bornitude ou la continuité n'ont absolument rien à faire dans l'histoire. $F$ et $G$ sont juste des espaces vectoriels.
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Dans ce cas je suis complétement perdu. Indépendamment de la finitude de la dimension, un opérateur de rang $r$ est la somme de $r$ opérateurs de rang $1$. Je me trompe une nouvelle fois en disant cela ?
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Heureusement que toute application linéaire de rang finie n'est pas forcément continue, sinon l'étude du dual topologique d'un Banach n'aurait pas grand intérêt !
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C'est ambigu. Parce que la somme de $r$ applications linéaires de rang $1$ peut ne pas être de rang $r$ (elle est de rang $\leq r$.
Revenons aux fondamentaux. Peux-tu me rappeler la définition du rang d'une application linéaire ? -
A oui effectivement... Peut-on dire la somme de $r$ opérateurs de rang $1$ linéairement indépendants ?
Le rang d'une application linéaire est la dimension de son image. -
Bien. Soit $u:G\to F$ une application linéaire de rang $r$ ; son image est de dimension $r$. Soit $(f_1,\ldots,f_r)$ une base de l'image de $u$. Pour tout $y\in G$, il existe un unique $r$-uple de scalaires $(\lambda_1(y),\ldots,\lambda_r(y))$ tels que
$$u(y)=\lambda_1(y)\, f_1+\cdots +\lambda_r(y)\, f_r\;.$$
Je te laisse poursuivre.
PS. Égaré par tes lectures pas complètement assimilées, tu cherches à introduire du matériel qui n'a rien à faire dans l'histoire (décomposition en valeurs singulières, continuité) et qui obscurcit ta compréhension. Reviens aux fondamentaux. -
Bonjour,
merci pour ta patience... Pour le coup de la continuité j'ai juste bachoté ça cette nuit en pensant que c'était la bonne piste mais c'est clair que ce n'est pas assimilé du tout. En fait quand on passe du fini à l'infini j'ai toujours les deux mêmes réflexes : 1. me faire la remarque que les formes linéaires ne sont plus nécessairement continues et 2. Si on travaille avec des compacts je peux raisonner comme si j'étais en dimension finie. Bref j'essaye de m'accrocher aux branches.
Je suis largué.. sommes nous bien en train de traiter ceci ?GaBuZoMeu a écrit:Tu peux montrer (facilement) qu'une application linéaire $G\to F$ dans l'image de $F\otimes G^*$ est toujours de rang fini. Vois-u le problème quand $G$ et $F$ sont de dimensions infinies ?
Les $\lambda_i$ sont des formes linéaires. On peut identifier $f_i\otimes\lambda_i$ à l'application $y\mapsto\lambda_i(y)f_i$. Ainsi $u = \sum_{i=1}^r f_i\otimes\lambda_i$. Je n'arrive toujours pas à voir le problème quand les dimensions sont infinies... :-S
Cordialement,
Mister Da -
Euh... as-tu déjà oublié la question de ce message ?
Tu ne vois pas le problème quand $F$ et $G$ sont de dimensions infinies ?
On sait que le morphisme canonique $F\otimes G^*\to L(G,F)$ est injectif. On sait aussi que si $F$ et $G$ sont de dimensions finies, ce morphisme est un isomorphisme, ce qui permet d'identifier $F\otimes G^*$ à $L(G,F)$. Ce qu'on essaie de faire maintenant c'est de caractériser l'image de $F\otimes G^*\to L(G,F)$ quand on n'a pas l'hypothèse de la dimension finie. Il n'y a pas de raison que cette image soit tout $L(G,F)$ ; on va préciser les situations où cette image est un sous-espace strict de $L(G,F)$.
PS. Je voudrais être sûr que tu as une démonstration en bonne et due forme du fait que les $\lambda_i$ sont des formes linéaires. -
Merci énormément d'avoir remis mon cerveau à l'endroit !
Bon, je tourne lamentablement en rond... Une application linéaire de rang $r$ s'écrit $u(y) = \sum_{i=1}^r \lambda_i(y)f_i$ et je pense pouvoir la voir comme une combinaison linéaire d'éléments de $F\otimes G^*$ en revanche on ne peut plus faire la même chose pour les applications linéaires de rang infini car cela nécessiterait une somme infinie (qui n'est donc plus une combinaison linéaire) ? Ceci dit, par analogie avec les séries de Fourier par exemple, je serais bien tenté peut considérer une base hilbertienne et faire une telle somme mais bon. -
Pourquoi cherches-tu toujours à partir dans des trucs qui n'ont pas de sens dans le contexte où on est ?
1°) As-tu une démonstration solide du fait que les $\lambda_i$ sont bien des formes linéaires ? (Je t'ai déjà posé la question).
2°) Peux-tu caractériser l'image de $G^*\otimes F \to L(G,F)$ (en toute généralité) ?
L'image de $G^*\otimes F \to L(G,F)$ est ????
3°) Peux-tu donner une condition nécessaire et suffisante pour que cette image soit $L(G,F)$ en entier ? -
Désolé, je n'avais pas vu ton "ps" dans ton message.
1°) Ce qui m'a permis de dire que c'était des formes linéaires est le raisonnement suivant :
Soit $u:G\to F$ une application linéaire de rang $r$ ; son image est de dimension $r$. Soit $(f_1,\ldots,f_r)$ une base de l'image de $u$. Pour tout $y\in G$, il existe un unique $r$-uple de scalaires $(\lambda_1(y),\ldots,\lambda_r(y))$ tels que $u(y)=\lambda_1(y)\, f_1+\cdots +\lambda_r(y)\,f_r$. Les $\lambda_i$ sont des formes, c'est-à-dire des applications de $G$ dans $\mathbb{K}$ (le corps sur lequel repose les espaces vectoriels). D'autre part, $u$ étant linéaire, pour tout $y$ et $z$ de $G$ et $\alpha$ de $\mathbb{K}$ on a $u(\alpha y+ z) = \alpha u(y)+ u(z)$ et donc en identifiant composante par composante il vient $\lambda_i(\alpha y+ z) = \alpha \lambda_i(y)+ \lambda_i(z)$ pour tout $i\in\{1,\dots,r\}$. J'en ai conclu que les $\lambda_i$ sont des formes linéaires.
2°) Je mets le diagramme que j'ai sur mon brouillon, j'ai $F\times G^*$ et tu as $G^*\times F$, c'est équivalent n'est-ce pas ? Bref, je dirais que l'image de l'application $F\times G^*\to\mathrm{Lin}(G,F)$ est l'ensemble des applications linéaires de $G$ dans $F$ de rang fini.
3°) Pour que l'image soit l'espace d'arrivée tout entier, je pense qu'une condition suffisante est qu'au moins l'un des deux espaces $F$ ou $G$ soit de dimension finie. Si c'est bon (enfin pas trop faux) je vais essayer de rédiger quelque chose pour m'en convaincre et me convaincre aussi que c'est nécessaire.
En espérant ne pas me faire encastrer la tête dans le clavier, je finis de ronger les rares bouts d'ongles restant. -
$G^*\times F$ est "canoniquement" isomorphe à $F\times G^*$ par $(\varphi,x)\mapsto (x,\varphi)$ et ceci induit un isomorphisme canonique de $G^*\otimes F$ sur $F\otimes G^*$.
Je suis rassuré pour le 1°.
Pour le 2°, je préférerais un argument à un sentiment (je dirais que ...)
Poursuis ta réflexion pour le 3°, tu es sur la bonne voie. -
Merci, je commence à reprendre espoir. Je me concentre sur le point 2°) et passe au 3°) après.
Pour 2°) à partir de l'application $B\in\mathrm{Bil}(F\times G^*,\mathrm{Lin}(G,F))$, $(f,g^*)\mapsto (g\mapsto g^*(g)f)$, nous considérons l'application $\hat{B}\in\mathrm{Lin}(F\otimes G^*,\mathrm{Lin}(G,F))$ qui est définie par
$\sum_{i=1}^\ell f_i\otimes g_i^*\mapsto\left(L\colon g\mapsto \sum_{i=1}^\ell g_i^*(g)f_i \right)$ le rang de l'application $L$ obtenue est inférieur ou égale à $\ell$.
Au final je crois que je reprends l'eau de toute part. Si ce que je viens de rédiger est correct, je suis en train de dire que l'image de $B$ est l'ensemble des applications linéaires de rang $1$ alors que celle de $\hat{B}$ est l'ensemble des applications linéaires de rang fini. Est-ce juste ? 8-)
Cordialement,
Mister Da -
Bonjour,
désolé pour mon temps de réponse je n'ai pas eu beaucoup de moments libres ces derniers temps.
J'essaye de me pencher sur le 3°) mais je ne vois pas du tout comment commencer en fait... Autrement est-ce que j'ai dit sur le 2°) est correct ?
Je vous remercie par avance pour votre aide et patience.
Cordialement,
Mister Da -
Il y a quelque chose de ce que tu as écrit sur le 2°) dont tu doutes ?
Pour le 3°), je ne comprends ton blocage. Il suffit de voir que si $E$ ou $F$ est de dimension finie, alors toute application linéaire de $E$ dans $F$ est de rang fini, et que si $E$ et $F$ sont tous deux de dimensions infinies, alors il existe une application linéaire de rang infini de $E$ dans $F$. C'est juste de l'algèbre linéaire de base, ça n'a plus rien à faire avec le produit tensoriel.
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