L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Un très vieil exercice de bac (1885)
dans Algèbre
Bonjour,
Résoudre le système tan(x) + tan(y) = a ET x + y = b.
Application : a = 1'''177 (1 tierce 177) et b = 45°.
Un calcul classique montre que tan(x) et tan(y) sont solutions de X2 -- aX + 1 -- a/tan(b) = 0, mais comment aurait-on traité l'application à l'époque ?
A+
Résoudre le système tan(x) + tan(y) = a ET x + y = b.
Application : a = 1'''177 (1 tierce 177) et b = 45°.
Un calcul classique montre que tan(x) et tan(y) sont solutions de X2 -- aX + 1 -- a/tan(b) = 0, mais comment aurait-on traité l'application à l'époque ?
A+
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Réponses
Résoudre le système $\displaystyle\begin{cases}\tan x+\tan y = a\\ x+y=b.\end{cases}$
Application : $a=1'''177$ et $b=45^\circ$.
Je veux dire :
pour traiter un angle minuscule tel que 1'''177, comment aurait-on procédé concrètement avec les techniques de l'époque ?
A+
En 1885, probablement en calculant tan(b)=tan(x+y) pour en déduire tan(x)tan(y), puis le classique théorème sur les nombres dont on connait la somme et le produit, ce qui donne en 3 lignes ton équation, puis on voit les conditions pour qu'il y ait des racines. C'est du classique de première, à l'époque.
Pour l'application numérique, tu es sûr pour a ? Car la notation 1"' a un sens pour un angle, mais a n'est pas un angle. Je n'en connais pas d'autre usage, en dehors de la dérivée troisième.
Cordialement.
Effectivement, j'aurais dû remarquer que a n'est pas un angle.
J'ai repris tel quel un exercice donné dans le Journal de Mathématiques Elémentaires 1885 !
A+
Sinon, pour 1,177 soixantième de seconde d'arc (valeur vraiment petite), on trouvait ses lignes trigonométriques approchées soit avec les tables de logarithmes, soit avec les approximations pour les petits angles en radians $\tan(x)\approx \sin(x) \approx x$ et $\cos(x)\approx 1-\frac{x^2}2$.
Un manuel de Desboves (1872) donne la réponse à ma question initiale.
A+
J'ai des problèmes avec les images... Qu'est-ce que ça donne en les ouvrant sous Paint ?
L'ouvrage s'intitule
Questions de trigonométrie
Méthodes et solutions
.
A+
Un scan à plus haute densité est nécessaire.
Cordialement.
Sur le document de Math Coss, je lis $a=1^m177$.
Faut-il interpréter $1\ mètre\ 177$ ? Tout ça n'a pas beaucoup de sens, puisqu'une tangente est un rapport indépendant de l'unité de mesure des longueurs.
Peut-être ça signifie simplement $1,177$, la virgule voulant se distinguer du séparateur de colonnes.
Maintenant si Piteux_gore parvient à nous mettre en ligne une image, l'exercice n'aura pas été vain ;-) !
Voici le résumé de la procédure Desboves, en posant x + y = a et tan(x) + tan(y) = m :
sin(x + y) : cos(x)cos(y) = m
sin(x + y) : (cos(x + y) + cos(x – y)) = m/2
sin(a) : (cos(x - y) + cos(a)) = m/2
cos(x - y) = 2.sin(a)/m – cos(a),
cos(x - y) = –cos(a + t)/cos(t) calculable par logarithmes avec tan(t) = 2/m.
D'où x - y; d'où x et y.
A+
http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1158990s/f73.image
Cher Piteux_gore, depuis le temps que tu postes sur le forum, il serait bon que tu t'appliques à écrire tes formules en $\LaTeX$ et que tu essayes de joindre de temps en temps une image à tes questions de géométrie.
Nous nous y sommes tous collés et avons fini par y arriver !
Amicalement. jacquot
Je peux écrire tan (1'' 234) = 1'' 234 . C'est tout à fait légitime. Certes Bourbaki aurait un infarctus en lisant ça, mais bon en 1885 on avait une vision plus concrète des choses mathématiques.
Combien vaut 1" 234 ? (que veut dire " ?)
Cordialement.
En 1885 l'enseignement était différent.
@ gerard0 : les degrés peuvent se diviser en minutes et secondes d'arc.
1 degré = 60 minutes d'arc
1 minute d'arc = 60 secondes d'arc
J'aurais du écrire 1.234 '' pour indiquer un angle de 1.234 secondes d'arc.
1' c'est 1 minute d'arc
1'' c'est 1 seconde d'arc
$\tan(1,234")\approx 0,598260.10^{-5}$. Je connais l'écriture des nombres en fractions, en virgule flottante, etc. Je ne connais pas la notation " dans l'écriture des nombres. Pourquoi ne veux tu pas dire ce que signifie " (en dehors des angles) ?
Cordialement.
Personnellement, je ne lis pas \(1''777\), ce serait d'ailleurs \(1'''1777\), comme on pouvait d'ailleurs le lire dès le premier message : et je ne pense pas avoir jamais vu de tierce d'arc… surtout que l'utilisation de minutes, secondes et tierces d'arc supposent une numération sexagésimale dans laquelle \(177\) ne peut être une fraction de tierce d'arc.
Je lis \(1^{\text{m}}177\), c'est-à-dire \(1\mathord{,}177\;\text{m}\) en notation moderne, comme cela a déjà eté proposé: et il est possible que la tangente ait pu être mesurée en mètres en tant que longueur d'un segment de la tangente au cercle triogonométrique en l'origine des arcs.