Début sur les groupes produits

Bonjour
J'ai vu la correction d'un exercice sur les groupes produits, mais je ne comprends pas.

Enoncé :
Le groupe additif ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) est-il isomorphe au groupe produit des groupes additifs ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) ?

Solution :
Nous savons que ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) est un groupe cyclique, donc monogène. Considérons maintenant un élément quelconque $(\overline{x}, \overline{y})$ du groupe produit des groupes ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) (groupe que l'on notera ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$)) et calculons :

$4(\overline{x}, \overline{y}) = (4\overline{x}, 4\overline{y}) = (\overline{0}, \overline{0})$

On en déduit que l'ordre d'un tel élément dans le groupe produit considéré est au plus 4. Ce groupe ne saurait donc être monogène. Ainsi ($\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}, +$) et ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, +$) ne sont donc pas des groupes isomorphes.

Mes questions :
Je me dis que ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$) = {$\overline{0}, \overline{1}$}
et que ($\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) = {$\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} $}

puis ($\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$) = {$ (\overline{0}, \overline{0}), (\overline{1}, \overline{0}), (\overline{0}, \overline{1}), (\overline{1}, \overline{1}), (\overline{0}, \overline{2}), (\overline{1}, \overline{2}), (\overline{0}, \overline{3}), (\overline{1}, \overline{3})$}

Oups, en l'écrivant je viens de comprendre pourquoi $4(\overline{x}, \overline{y}) = (4\overline{x}, 4\overline{y}) = (\overline{0}, \overline{0})$ donc OK

Deuxième interrogation... Si ce groupe n'est pas monogène, à partir de quels gènes on le forme ? Comment ça s'écrit < > ?

Merci.