Orthogonal d'un sous-espace vectoriel
Bonjour
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ (dimension finie). Je cherche à montrer que $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}=(F_1 \cap F_2)^{\perp}$. Pour la première inclusion, j'ai trouvé une démonstration différente de celle énoncée dans mon cours. Cependant, j'ai un petit doute... Pouvez-vous regarder s'il n'y a rien de choquant. Merci
$F_1^{\perp}+F_2^{\perp}=(F_1 \cap F_2)^{\perp}$
On va montrer que $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}\subset(F_1 \cap F_2)^{\perp}$
On va poser $F_1^{\perp}:=\bigg\{\gamma, \quad \forall x\in F_1, \;\gamma(x)=0\bigg\}$ et $F_2^{\perp}:=\bigg\{\psi, \quad \forall x\in F_2, \;\psi(x)=0\bigg\}$
Soit $\varphi,\varphi' \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$ tel que $\varphi= \gamma+\psi$ et $\varphi'=\gamma-\psi$
Ainsi pour tout $x\in E$ on a $\underbrace{\left\lbrace\begin{array}{l}(\varphi+\varphi')(x) = 2\gamma(x) \\(\varphi-\varphi')(x) = 2\psi(x) \end{array}\right.}_{(1)} \iff \underbrace{\bigg[\forall \varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp},\quad \bigg(\varphi(x)=0 \implies x\in F_1\cap F_2\bigg)\bigg]\quad}_{(2)} \iff \underbrace{\varphi \in (F_1 \cap F_2)^{\perp}}_{(3)}$
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ (dimension finie). Je cherche à montrer que $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}=(F_1 \cap F_2)^{\perp}$. Pour la première inclusion, j'ai trouvé une démonstration différente de celle énoncée dans mon cours. Cependant, j'ai un petit doute... Pouvez-vous regarder s'il n'y a rien de choquant. Merci
$F_1^{\perp}+F_2^{\perp}=(F_1 \cap F_2)^{\perp}$
On va montrer que $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}\subset(F_1 \cap F_2)^{\perp}$
On va poser $F_1^{\perp}:=\bigg\{\gamma, \quad \forall x\in F_1, \;\gamma(x)=0\bigg\}$ et $F_2^{\perp}:=\bigg\{\psi, \quad \forall x\in F_2, \;\psi(x)=0\bigg\}$
Soit $\varphi,\varphi' \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$ tel que $\varphi= \gamma+\psi$ et $\varphi'=\gamma-\psi$
Ainsi pour tout $x\in E$ on a $\underbrace{\left\lbrace\begin{array}{l}(\varphi+\varphi')(x) = 2\gamma(x) \\(\varphi-\varphi')(x) = 2\psi(x) \end{array}\right.}_{(1)} \iff \underbrace{\bigg[\forall \varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp},\quad \bigg(\varphi(x)=0 \implies x\in F_1\cap F_2\bigg)\bigg]\quad}_{(2)} \iff \underbrace{\varphi \in (F_1 \cap F_2)^{\perp}}_{(3)}$
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Réponses
Déjà, on ne sait pas comment parenthéser tes implications ; c'est donc illisible.
@mousse : tu ne peux pas écrire qu'en prenant des éléments quelconques $x,y$ dans $A+B$ ils peuvent s'écrire $x=a+b,\;y=a-b,\;(a,b)\in A\times B$.
Il faut écrire $x=x_A+x_B,\;y=y_A+y_B,\;(x_A,y_A)\in A^2,\;(x_B,y_B)\in B^2$ et ne rien supposer d'autre sur les composantes.
on doit comprendre
ça
a=>(b=>c)
ou ça
(a=>b)=>c
?
x => y signifie
non (x) OU NON EXCLUSIF y
l'équivalence est associative
x<=>y signifie
(x OR non(y))AND(not(x) OR y)
OR qui signifie le OU NON EXCLUSIF
Dans 1) $\varphi, \varphi', \gamma, \psi, x$ siont des variables libres (non quantifiées)
Dans 2) la seule variable libre est $x$.
Dans 3) (qui est à moitié caché) la seule variable libre est $\varphi$.
Et il paraît qu'on aurait l'équivalence des trois choses ? Vraiment aucun sens ; c'est pour cela que je te demande d'écrire en français, en espérant que ça t'oblige d'écrire quelque chose qui ait un minimum de sens.
$F_n$ sont des sous-espaces vectoriel de $E$ (dimension finie).
Je veux montrer que $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}\subset(F_1 \cap F_2)^{\perp}$, voici ma démonstration rectifiée. Je sais qu'il y a plus simple. C'est simplement un exercice perso pour travailler le cours. Cette preuve est-elle correcte??
On va poser $F_1^{\perp}:=\bigg\{\gamma, \quad \forall x\in F_1, \;\gamma(x)=0\bigg\}$ et $F_2^{\perp}:=\bigg\{\psi, \quad \forall x\in F_2, \;\psi(x)=0\bigg\}$
$\varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp} \iff \forall \varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp},\;\exists (\gamma,\psi)\in F_1^{\perp}\times F_2^{\perp}, \forall x \in E \quad \varphi(x)=(\gamma+\psi)(x)$
Puisque $F_1^{\perp}$ et $F_2^{\perp}$ sont des espaces vectoriels, il existe $\varphi' \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$ tel que $\varphi'(x)=(\gamma-\psi)(x)$
Soit $F :=\bigg\{x\in E\;| \quad \forall \phi \in (F_1^{\perp}+F_2^{\perp}), \;\phi(x)=0\bigg\}$ et $\varphi$ quelconque dans $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$
Ainsi on a $\forall x\in F, \left\lbrace\begin{array}{l} \varphi(x)=0\\ \varphi'(x)=0\end{array}\right. \iff \left\lbrace\begin{array}{l} \gamma(x)+\psi(x)=0\\\gamma(x)-\psi(x)=0\end{array}\right.\iff \left\lbrace\begin{array}{l} 2\gamma(x)=0\\2\psi(x)=0\end{array}\right. \implies x\in F_1\cap F_2 \iff \varphi\in (F_1\cap F_2)^{\perp}$ $\square$
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
détaille tes variables sur chaque phrase entre tes équivalences
on doit savoir qui est libre qui est lié
a<=>b<=>c
a,b,c sont des phrases qui parlent avec des variables( liées ou libres)
ces phrases n'en parlent pas
et ton ensemble F est mal foutu (qui sont ses éléments?)
F={x dans E et etc...}
qui sont les éléments de F
x?
donc F=E?
et en logique la virgule sert de ET sinon il faut dire sa signification
là on sait qui sont les éléments de F
ce qui se trouve à gauche de la barre ce sont eux
en fait je profite de la nuit
le seul moment où je peux me la péter en maths(car les bons dorment)
attend les autres toutefois avant de me dire merci
si tu savais lol je me marre!
@Fluo : tes conventions ne sont pas partagées par tout le monde !
je me disais bien...
la nuit deviendra le jour
quand je pense que la première fois que j'ai lu le nom de JLF c'est en 1989 dans une poubelle vers deux heures du matin...
oui la nuit sera le jour
bisou Poirot
Tu veux montrer $F_1^{\perp} + F_2^{\perp} \subset (F_1 \cap F_2)^{\perp}$. Il suffit donc de prendre un élément du premier ensemble et montrer qu'il est dans le deuxième. Soit donc $\varphi$ dans ce premier ensemble. Par définition, il existe $f \in F_1^{\perp}$ et $g \in F_2^{\perp}$ telles que $\varphi = f+g$. Il te reste à conclure, c'est-à-dire montrer que $\varphi \in (F_1 + F_2)^{\perp}$ simplement en utilisant la définition, saurais-tu faire ça ?
Juste pour lever le doute, lorsque tu dis que ma démonstration n'a aucun sens, tu parles de la 1ère ou la seconde version?
$$\varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp} \iff \forall \varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp},\;\exists (\gamma,\psi)\in F_1^{\perp}\times F_2^{\perp}, \forall x \in E \quad \varphi(x)=(\gamma+\psi)(x)$$
Je t'avais demandé d'écrire en français. Tu ne l'as pas fait. Je le fais à ta place :
$\varphi$ appartient à $ F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$ si et seulement si, pour tout $\varphi$ appartenant à $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$, il existe $\gamma$ dans $F_1^{\perp}$ et $\psi$ dans $F_2^{\perp}$ tels que, pour tout $x$ dans $E$, $\varphi(x)=(\gamma+\psi)(x)$.
Cette phrase ne va pas. Tu as d'un côté de l'équivalence un bout de phrase qui parle de $\varphi$ et de l'autre côté un bout de phrase qui ne parle plus de $\varphi$, puisque $\varphi$ est quantifiée universellement.
Tu n'écris pas correctement le langage mathématique formalisé. Alors essaie d'écrire correctement en français.
Merci pour ta réponse. Ce que je voulais montrer est que si $\varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$, alors il existe $\gamma$ dans $F_1^{\perp}$ et $\psi$ dans $F_2^{\perp}$ tel que pour tout $x$ dans $E$, $\varphi(x)=(\gamma+\psi)(x)$
Ainsi je peux le traduire ainsi : $\varphi \in F_1^{\perp}+F_2^{\perp} \iff \exists (\gamma,\psi)\in (F_1^{\perp} \times F_2^{\perp}), \forall x\in E,\quad \varphi(x)=(\gamma+\psi)(x)$
On peut remplacer le "alors" par un "si et seulement si"
Poirot :
Oui on peut faire plus simple comme :
$$\left\lbrace \begin{array}{l}F_1\cap F_2 \subset F_1 \implies F_1^{\perp}\subset (F_1\cap F_2)^{\perp}\quad (1)\\F_1\cap F_2 \subset F_2 \implies F_2^{\perp}\subset (F_1\cap F_2)^{\perp}\quad (2)\end{array}\right. \qquad(1) \land (2)\implies F_1^{\perp}+F_2^{\perp}\subset (F_1\cap F_2)^{\perp}$$
Cependant, mon objectif était de trouver moi-même cette preuve, car je me sens pas très à l'aise avec ce chapitre.
Dans la deuxième version proposée, j'ai le sentiment que la preuve est correcte, malheureusement elle ne l'est pas et c'est ce qui me chagrine car je ne vois pas où est l'erreur et pourquoi.
Pour la seconde partie la réciproque est vraie.
Puisque $\varphi\in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$, $\varphi =\gamma+\psi$, on a donc pour tout $x \in F_1\cap F_2, \quad \varphi(x)=0$ ainsi $\varphi \in (F_1\cap F_2)^{\perp}$
On peut conclure que $F_1^{\perp}+F_2^{\perp}\subset (F_1\cap F_2)^{\perp}$
Merci pour la balade
> Puisque $\varphi\in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$,
> $\varphi =\gamma+\psi$, on a donc pour tout $x \in F_1\cap F_2, \quad \varphi(x)=0$
> ainsi $\varphi \in (F_1\cap F_2)^{\perp}$.
Tu n'écris pas qui sont $\gamma$ et $\psi$. Ensuite, tu n'en parles plus et on ne comprend pas ce qu'ils viennent faire dans l'histoire. Je trouve donc cette rédaction mauvaise. J'aurais nettement préféré :
Soit $\varphi\in F_1^{\perp}+F_2^{\perp}$. Il existe $\gamma \in F_1^{\perp}$ et $\psi \in F_2^{\perp}$ tels que $\varphi =\gamma+\psi$. On a donc pour tout $x \in F_1\cap F_2$, $\varphi(x)=\gamma(x)+\psi (x)=0$ ; ainsi $\varphi \in (F_1\cap F_2)^{\perp}$.
Je rappelle tout de même que ma question portait sur ma preuve, et non pas sur une preuve alternative. (j'en ai cité une dans la discussion).
Et ceux qui veulent se la péter en math, qu'ils travaillent sur des choses utiles. Imaginez la situation, je viens terminer ma L1, et voilà que je me la joue face à un étudiant de seconde . Qui est le plus ridicule?
Pour que la raison du plus fort ne soit pas la règle, je conseille aux administrateurs de modifier la charte de ce forum.
Et inciter les "forumers" à répondre de manière précise aux questions ou simplement à se taire.
Cordialement
Bon courage pour ta L2 .
RQ : je la trouve bien la charte...
Bien à toi
Je donne mon avis sur ce site. Et je critique la méthode employée par les intervenants, qui à mon sens n'est pas la bonne. Pour exemple, l'objet d'étude évoqué dans la discussion est l'orthogonalité et dualité. On n'en parle pratiquement jamais. Le sujet principal devient logique et quantificateurs. Et allons-y à faire de la logique pendant 23 heures durant.
Il y a même un intervenant qui a ajouter je le cite " ça va durer" ...avec aucun apport concret.
Je passe sur les commentaires de fluo, ça ne vaut pas la peine d'en parler.
Ensuite, ma question porte sur une preuve que j'ai énoncée dans le 1er message et ensuite dans un autre avec corrections.
Les seuls commentaires ont été , ça n'a aucun sens. Ok et pourquoi?
J'ai précisé que je disposais d'une preuve dans mon cours et que l'objectif était d'en trouver une autre pour travailler le cours.
Pourquoi me proposer une preuve alternative.?
Je résume,
Donc, je vais sur un site anglophone, et je pose ma question :
Résultat :
On discute de ma preuve, on lève les ambiguïtés concernant des quantificateurs mal placés (avec mon idée), je conclus que ma preuve est fausse (mais qu'elle a un sens mathématique!!!!!!) et tout ça en moins de 30 minutes
au revoir Messieurs!!!!!!
Si tu ne veux pas le voir, continue comme ça. Tu t'en mordras les doigts plus tard.