Groupes et schéma visuel

Morgatte · September 2017

Bonjour,

Je ne suis pas sûr que ce soit dans ce forum que je devrais poser cette question.

Voilà, je me rend compte que les représentations graphiques des groupes cycliques m'aident pas mal à comprendre les choses. Je suis tombé sur cette page wiki https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_petits_groupes pourriez vous m'éclairer sur ses schémas plus complexes que de simples cycles.

Par exemple pour le cycle Z12 (d'ordre 12) Je pense comprendre que le schéma du cycle représente ses membres $\bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}, \bar{7}, \bar{8}, \bar{9}, \bar{10}, \bar{11} $
Ou bien représentent pour $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ X $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ses membres $(\bar{0},\bar{0}), (\bar{0},\bar{1}), (\bar{0},\bar{2}), (\bar{1},\bar{0}), (\bar{1},\bar{1}), (\bar{1},\bar{2}), (\bar{2},\bar{0}), (\bar{2},\bar{1}), (\bar{2},\bar{2}), (\bar{3},\bar{0}), (\bar{3},\bar{1}), (\bar{3},\bar{2})$

Par contre pour Z6 × Z2 = Z3 × Z2² je ne comprend pas ce schéma en triangle dans cet autre groupe d'ordre 12 juste ci-dessous.

GaBuZoMeu · September 2017

Les petits schémas sont dans la colonne "graphe des cycles". Dans la page que tu as sous les yeux, il y a un lien sur la page wikipedia "graphe des cycles" qui t'expliquera ce que sont ces graphes des cycles.

Morgatte · September 2017

Mince, excusez, je n'avais pas vu que l'intitulé de la colonne était un lien vers l'explication des graphes.

AD · September 2017

Bonjour Morgatte
Si tu veux avoir une visualisation d'un groupe qui te permettra de mieux comprendre la structure du groupe, je te conseille de regarder le treillis des sous-groupes du groupe. Cela te permettra aussi de facilement visualiser la notion de groupe quotient comme sous-treillis du treillis du groupe.
Pardon pour la pub, mais je te recommande mon livre Groupes finis et treillis de leurs sous-groupes, si tu peux l'emprunter à la BU, tout ce dont je viens de parler y est abondamment expliqué, et encore plus ...
Alain

Morgatte · September 2017

Bonjour Alain,

C'est marrant j'ignorais que vous en étiez l'auteur. Je ne suis pas étudiant et je n'ai donc pas accès à une BU, je suis juste intéressé par le sujet. Du coup j'ai trois livres sur les groupes/anneaux/corps à la maison dont le vôtre.
Cependant, ce livre n'est pas de mon niveau, un jour j'espère

Pour l'instant je me bâts encore avec :
- "Groupes Anneaux et Corps" de Jean-Marie Morvan
- "Cours d'algèbre" de Roger Godement

En vérité, le vôtre j'avais dans l'idée de le garder pour plus tard parce que pour l'instant c'est vraiment trop tôt.
Mais puisque c'est le sujet du moment qui m'intéresse et que je l'ai justement sous la main, je vais quand même y rejeter quelques coups d'oeil pour voir ce qui est à ma portée. Merci.

df · September 2017

Bonjour Morgatte,

comme un fait exprès j'étais pas plus tard qu'hier à la BU (accessible à tous !) et j'avais entre les mains le livre dont AD est l'auteur.
J'en ai photocopié une dizaine de pages grâce à la photocopieuse poussive de la salle de lecture et je ne résiste pas à l'envie de vous faire partager le charme discret des treillis de sous-groupes.
(J'ai cru comprendre que vous étiez en demande de schémas complexes.)
Et encore je vous ai épargné l'ordre 120 qui n'est pas beaucoup plus spectaculaire finalement que l'ordre 32.
Ce livre se termine de manière un peu effrayante mais il commence par des notions de premier cycle (groupes distingués, actions de groupes, théorèmes d'isomorphisme etc...) et elles sont très bien expliquées. 67036

flipflop · September 2017

Salut,

Une question pour Alain. Dis moi, si ce n'est pas indiscret, comment tu as fait pour générer les treillis de sous-groupes ?

AD · September 2017

Bonsoir Flipflop
J'ai écrit un programme C++ (~8500 lignes de code) qui à partir d'une présentation du groupe, détermine tout ce qui est nécessaire : éléments, sous-groupes avec leurs générateurs, distinction/conjugaison, quotients si distingués, groupe d'automorphismes, sous-groupes caractéristiques, décomposition en produit direct ou semi-direct de sous-groupes et conservation des informations utiles.
J'ai constitué ainsi par ordre croissant la bibliothèque des groupes d'ordre petit (exhaustive jusqu'à l'ordre 167, sauf 128) dans laquelle je le programme vient fouiller à chaque fois que je qu'il trouve un sous-groupe, pour en déterminer son type d'isomorphie.
Pour déterminer les présentations pertinentes, j'ai systématiquement recherché les produits directs et semi-directs de groupes d'ordre plus petits. Pour limiter les cas à considérer, j'ai bien sûr utilisé des théorèmes donnant des conditions suffisantes pour que deux produits semi-directs soient isomorphes. Tout cela est détaillé au chapitre X de mon livre.
Alain

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