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Fraction particularité

Envoyé par Jerome83 
Fraction particularité
il y a deux années
Bonjour à tous et merci de vos avis et explications éclairés :

Si l'on pose la fraction suivante :
6 au numérateur et 2(2+1) au dénominateur quel est le résultat ?
Pour moi la barre de fraction vaut parenthèse et je calculerais déjà le dénominateur soit 6
Soit un résultat de 1 pour cette fraction (6/6)

Mais on me dit que non que le résultat est 9

Merci de vos explications

Cordialement,
JG
Re: Fraction particularité
il y a deux années
avatar
Bonjour,

Comment sais-tu ce qui est au dénominateur ? Tel que tu le décrit, ce nombre vaut 1, mais 6/2(2+1) vaut 9.
Re: Fraction particularité
il y a deux années
Bah... S'il est écrit $6/2(2+1)$, comme la multiplication et la division ont le même niveau de priorité, c'est plutôt $6\times\dfrac12\times(2+1)=9$. S'il est écrit $\dfrac{6}{2(2+1)}$, ça vaut bien $1$.

NB : On lit de plus en plus souvent des écritures de la forme $a+b/c+d$ et leurs (jeunes) auteurs pensent que c'est un synonyme de $\dfrac{a+b}{c+d}$ : ils ont tort, on a sans aucune ambiguïté possible : $a+b/c+d=a+ \dfrac{b}c+d$, ce qui est en général différent de la fraction précédente. (Cidrolin va peut-être nous donner un exemple où ces deux expressions coïncident ?)
Re: Fraction particularité
il y a deux années
La fraction $\displaystyle \frac 6{2(2+1)}$ vaut bien 1. Le trait de fraction se comporte comme une sorte de double parenthèse (tout ce qui est au dessus à diviser par tout ce qui est au dessous).

Cordialement.

NB : Qui est le .on ?
Re: Fraction particularité
il y a deux années
Mon meilleur ami ! Il est persuadé que même si l'on pose sous la forme d'une fraction avec 6 au numérateur et 2(2+1) au dénominateur le résultat est 9.
Vous confirmez bien que c'est bien 1 dans ce cas de figure ?

Cette interrogation fait suite à une publication sur Facebook où il était demandé combien font 6/2(2+1) apparement le résultat serait de 9 sous cette forme d'écriture.

Bien à vous

Cordialement,
JG
Re: Fraction particularité
il y a deux années
Oui j'ai aussi reçu un message d'un ami qui est persuadé d'être un génie car soit disant personne ne trouve LA bonne réponse.

Personnellement je trouve que soit on donne les règles du jeu dès le début soit les deux réponses sont correctes. C'est purement "sociologique" l'ordre des opérations, autant pousser jusqu'au bout et demander que vaut $+(4,\times(5,9))$
Dom
Re: Fraction particularité
il y a deux années
Le problème est bien l'utilisation du « / ».
Il est utilisé à tort comme un trait de fraction et dans ce cas la transcription est (toujours à tort) : $\dfrac{\quad}{\quad}$.
Il vaut mieux utiliser le symbole $\div$ lorsque l'on écrit en ligne.
Mais les claviers ordinaires n'ont pas ce symbole par défaut qui nécessite un code ASCII ou autre astuce.
Re: Fraction particularité
il y a deux années
Oui cela reste ambiguë tout dépend de l'appréciation du symbole /
Re: Fraction particularité
il y a deux années
avatar
Bonsoir,
On utilise plus souvent $:$ que $\div$ au secondaire, et on ne devrait jamais utiliser $/$.
Re: Fraction particularité
l’an passé
Je ne comprends pas en quoi changer la typographie du symbole utilisé réglerait les problèmes de priorité d'opérations et de parenthésage. Peut-on m'expliquer ?
Re: Fraction particularité
l’an passé
avatar
La prétendue ambiguïté disparaît complètement si l'on applique les règles de priorité correctement.
En toutes circonstances
$$
\frac{A}{B} = (A) ÷ (B)
$$
où $A$ et $B$ peuvent être des expressions compliquées.

Comme Dom, j'aime bien le symbole $÷$ qui rappelle une barre de fraction plus un numérateur et un dénominateur.
Et il ne se confond pas avec le double point $:$ qui a d'autres usages, par exemple $f:x\mapsto x+1$.

Exemple :
$$
\frac{x+1}{3-\frac{x}{1-x}} = \frac{x+1}{3-(x÷(1-x))} = (x+1)÷(3-(x÷(1-x)))
$$
Si $x=3$ cette expression s'écrit
$$
(3+1)÷(3-(3÷(1-3))) = 4÷(3-(3÷(-2))) = 4÷(3-(-1.5)) = 4÷(3+1.5) =
$$
$$
4÷4.5 = 8÷9= ...
$$
Re: Fraction particularité
l’an passé
Jerome83,

Tu peux faire remarquer à ton ami que changer l'écriture d'un calcul suppose de savoir comment il se fait. Pour trouver 9, il faut faire les calculs de la gauche vers la droite (convention généralement prise par défaut quand d'autres conventions ne s'appliquent pas), donc diviser 6 par 2, puis multiplier le résultat par (2+1). Quand on écrit en fraction, le (2+1) multiplie 2 et ce n'est qu'après qu'on divise 6.

A moins que ton ami, très faible en calcul élémentaire, confonde $\frac a b \times c$ avec $\frac a {b \times c}$.

Cordialement.
Dom
Re: Fraction particularité
l’an passé
@GBZM
J'explique pourquoi on a des confusions (que je ne justifie pas !).

Un auteur désire écrire cela sur son clavier : $\dfrac{6}{2\times 4}$.
Mais il ne sait pas comment écrire cela.
À défaut de trait horizontal, il utilise un symbole qui s'en rapproche.
Il écrit alors : $6/2\times 4$.
Pour lui, l'écriture est fidèle à ce qu'il veut recopier.
Il se peut même qu'il sache que le nombre peut être écrit comme cela : $6\div (2\times 4)$.
Mais il a voulu écrire un trait de fraction, comme sur l'originale.
On a même, pour lui : $\dfrac{3}{4}+5=(3/4)+5=3\div 4+5$.

Et encore pour lui : $\dfrac{3}{4+5}=3/4+5=3\div (4+5)$. ($ndlr$ c'est faux bien entendu)

Il comprend le symbole "/" comme le trait de fraction avec priorité à "l'expression placée devant - le numérateur" et "l'expression placée derrière - le dénominateur".
Pour lui les deux symboles $\div$ et $/$ ne sont pas interchangeables simplement et les règles opératoires changent.
C'est en cela que je perçois l'interprétation des calculs avec "/".

Est-ce plus clair ?
Re: Fraction particularité
l’an passé
Dom
Re: Fraction particularité
l’an passé
Et bien, cela m'étonne.

Dernière tentative :

je crois que pour certains, l'écriture :

$a+b\times c/2-6+5$ signifie $\dfrac{a+b\times c}{2-6+5}$

alors qu'ils savent que

$a+b\times c\div 2-6+5$ signifie $a+b\times \dfrac{c}{2} -6+5$ ou $a+ \dfrac{b\times c}{2} -6+5$ ce qui est idem
Re: Fraction particularité
l’an passé
Moi, je crois que tu te racontes une histoire sans aucun fondement.
Dom
Re: Fraction particularité
l’an passé
Je pense que tu es comme Saint Thomas.

À la revoyure.
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