automorphisme

siwi123 · September 2017

Bonjour,
Soit $F$ un corps et $n\ge 2$.

On définit $\phi:GL(n,F)\to GL(n,F)$ par $\phi(g)=(g^{-1})^T$, où $T$ désigne la transposée.

On suppose que $F$ a au moins quatre éléments et $n\ge 3$. Monter que la restriction de $\phi$ à $SL(n,F)$ est un automorphisme extérieur de $SL(n,F)$.

Voici ce que j'ai fait:
On suppose qu'ils sont des morphisme intérieur , ie il existe $h\in SL(n,F)$ tel que $\phi(g)=hgh^{-1}$ pour tout $g\in SL(n,F)$. on prend ensuite $g\in SL_n(F)$ tel que $gh=hg$ et $g\neq(g^{-1})^T$ et on obtient alors une contradiction car $\phi(g)=hgh^{-1}=g$ différent de $(g^{-1})^T$

Je ne suis pas convaincu de ma réponse :-( merci de m'aider à trouver la solution

siwi123 · September 2017

c'est treeeeeees urgent, aidez moi s'il vous plait

Math Coss · September 2017

Ça ne va pas parce que l'existence d'un tel élément $g$ n'est pas établie. De plus, les hypothèses sur la taille du corps n'interviennent pas, c'est suspect.

siwi123 · September 2017

avez vous une autre solution?

siwi123 · September 2017

aucune idée s'il vous plait?

Math Coss · September 2017

Pour commencer, même si ça ne fait pas avancer directement, est-ce que l'hypothèse $n\ge3$ est-elle nécessaire ? Pour $n=2$, peut-on trouver $h\in SL(2,F)$ tel que ${}^tg^{-1}=hgh^{-1}$ pour tout $g\in SL(2,F)$ ?

siwi123 · September 2017

pour $n=2$ ce n'est pas possible voir ici la justification

il me reste quelque minutes pour faire un test merci de m'aider pour trouver la solution pour $n\ge 3$ c'est très urgent

Poirot · September 2017

Tu ne pouvais pas t'y prendre plus tôt ?

siwi123 · September 2017

malheureusement j'ai trop réfléchi mais je n'ai pas trouver la solution :-(

on ne peut pas répondre comme suit:
Suppose it were inner, ie there exists $h\in SL(n,F)$such that $\phi(g)=hgh^{-1}$ for all $g\in SL(n,F)$. we take then specific matrices $g_1,g_2 \in SLn(F)$with only $0$ and $1$ as coefficients then we get a contradiction: $\phi(g_1)=hg_1h^{-1}=(g_1^{-1})^T$ and $\phi(g_2)=hg_2h^{-1}=(g_2^{-1})^T$ then $hg_1h^{-1}hg_2h^{-1}=(g_1^{-1})^T(g_2^{-1})^T$ then $hg_1g_2h^{-1}=(g_1^{-1})^T(g_2^{-1})^T$ wich give the contadiction since we dont have the same coefficients in the lift and right side of the final equality

?

GaBuZoMeu · September 2017

Tu peux toujours répondre comme ça, mais à mon avis ça ne satisfera pas grand monde (pas moi en particulier).
Pour des matrices de taille au moins 3 sur un corps de caractéristique différente de 2 ayant au moins 4 éléments (et donc au moins 5), il y a un argument très simple.
Indication : un automorphisme intérieur de $SL_n(F)$ envoie une matrice sur une matrice semblable

siwi123 · September 2017

$\phi(g)=hgh^{-1}=PDP^{-1}$ où $D$ est diagonale ??
et alors, comment peut on conclure? Merci

GaBuZoMeu · September 2017

Je trouve très bizarre ce que tu as compris de ce que j'ai écrit !

Je reformule mon indication d'une autre façon : trouver une matrice de taille 3 de déterminant 1 qui n'est visiblement pas semblable à l'inverse de sa transposée.