Symétrie glissée
Bonjour,
je voulais poser une question à AD (ou à d'autres qui sauraient).
Je pense (sans en être sûr) que la figure ci-dessous est extraite de son ouvrage sur les treillis de sous-groupes.
p42-43, on voit que: Dans le plan affine euclidien, il y a 6 isométries (3 rotations et 3 symétries glissées) qui appliquent un triangle équilatéral $A_0B_0C_0$ sur un triangle équilatéral de même taille $A_1B_1C_1$ ainsi que le centre de gravité de l'un $O_0$ sur le centre de gravité de l'autre $O_1$. (voir dessin)
Chaque symétrie glissée est la composée d'une symétrie et d'une rotation.
L'une de ces trois symétries glissées est: $g_{acb}$.
Si j'ai bien compris, elle est telle que: $g_{acb}(A_0) = A_1$, $g_{acb}(B_0) = C_1$ et $g_{acb}(C_0) = B_1$ et $g_{acb} = r_{abc} \circ sym(O_0A_0)$.
Concrètement, pourriez-vous décrire le chemin géométrique qui permet (grâce à $g_{acb}$), de passer du sommet $A_0$ au sommet $A_1$ ou bien du sommet $B_0$ au sommet $C_1$ ?
Et comment déterminez-vous les axes $s_{xyz}$ des symétries glissées ?
En vous remerciant.
je voulais poser une question à AD (ou à d'autres qui sauraient).
Je pense (sans en être sûr) que la figure ci-dessous est extraite de son ouvrage sur les treillis de sous-groupes.
p42-43, on voit que: Dans le plan affine euclidien, il y a 6 isométries (3 rotations et 3 symétries glissées) qui appliquent un triangle équilatéral $A_0B_0C_0$ sur un triangle équilatéral de même taille $A_1B_1C_1$ ainsi que le centre de gravité de l'un $O_0$ sur le centre de gravité de l'autre $O_1$. (voir dessin)
Chaque symétrie glissée est la composée d'une symétrie et d'une rotation.
L'une de ces trois symétries glissées est: $g_{acb}$.
Si j'ai bien compris, elle est telle que: $g_{acb}(A_0) = A_1$, $g_{acb}(B_0) = C_1$ et $g_{acb}(C_0) = B_1$ et $g_{acb} = r_{abc} \circ sym(O_0A_0)$.
Concrètement, pourriez-vous décrire le chemin géométrique qui permet (grâce à $g_{acb}$), de passer du sommet $A_0$ au sommet $A_1$ ou bien du sommet $B_0$ au sommet $C_1$ ?
Et comment déterminez-vous les axes $s_{xyz}$ des symétries glissées ?
En vous remerciant.
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Réponses
Si une symétrie glissée envoie $M$ sur $N$, le milieu de $MN$ est sur l'axe. Avec ça, tu peux déterminer l'axe des symétries glissées.
Je ne vois pas trop ce que tu veux dire par "chemin géométrique".
On a $g_{acb} = r_{abc} \circ sym(O_0A_0)$, c'est-à-dire que l'on applique au triangle $(A_0B_0C_0)$ d'abord la symétrie $sym(O_0A_0)$ puis la rotation $r_{abc}$.
Ainsi $A_0 \mapsto A_0$ par $sym(O_0A_0)$, puis $A_1$ par la rotation $r_{acb}$, que l'on peut suivre par les cercles pointillés, centrés au point $r_{acb}$.
$B_0 \mapsto C_0$ par $sym(O_0A_0)$, puis $C_1$ par la rotation $r_{acb}$, en suivant toujours les cercles pointillés.
$C_0 \mapsto B_0$ par $sym(O_0A_0)$, puis $B_1$ par la rotation $r_{acb}$, toujours en suivant les cercles pointillés.
La rotation $r_{bca} : (A_0B_0C_0) \mapsto (B_1C_1A_1)$ est matérialisée par les arcs de cercle tiretés courts centrés sur le point $r_{bca}$ (une partie de l'arc de cercle est cachée par le bord inférieur de la figure).
Enfin, la rotation $r_{cab} : (A_0B_0C_0) \mapsto (C_1A_1B_1)$ est matérialisée par les arcs de cercle tiretés long centrés sur le point $r_{cab}$.
Est-ce que cela répond à ta question ?
Alain
On aurait aussi pu voir $g_{acb}$ comme la symétrie par rapport à la droite $s_{acb}$ suivi d'une translation de vecteur $t_{acb}$. Les points intermédiaires ne sont pas tracés, mais on peut les imaginer sans peine.
On peut faire pareil avec la symétrie glissée $g_{cba}$ (symétrie par rapport à la droite $s_{cba}$ puis translation de vecteur $t_{cba}$.
Ainsi qu'avec $g_{bac}$.
Peut-être était-ce cela ta question ?
Alain
$Z\mapsto Z'$ est une symétrie glissée,
alors le milieu de $ZZ'$ est un point de l'axe.
Ci-dessous, construction de l'axe et du vecteur de la symétrie glissée
qui transforme $A\mapsto D$, $B\mapsto E$ et $C\mapsto F$.
Dans la composition "symétrie.rotation" qui constitue la symétrie glissée, c''était bien la partie "symétrie" que j'avais du mal à me représenter géométriquement.
Je cherche à avoir un peu de "biscuit" pour affronter la clique des Hélvètes (et tous les autres) du forum "géométrie": y a du boulot.
Mes "recherches" m'amènent finalement plus de questions que de réponses.
Cordialement
df...