Idempotents
Réponses
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Eh bien, un idempotent dans un anneau est un élément de l'anneau. Ici, une classe de congruence modulo $m$.
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Merci beaucoup, Math Coss !
-
Et donc, quels sont les idempotents de $\Z/2\Z$ ? $\Z/3\Z$ ? $\Z/4\Z$ ? $\Z/6\Z$ ? $\Z/24\Z$ ?
-
Respectivement, les classes de congruences de :
0,1
0,1
0,1
0,1,3,4
0,1,9,16 -
Es-tu maintenant capable de donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que sa classe modulo $m$ soit un idempotent de $\mathbb Z/m \mathbb Z$ ?
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Bonjour, Poirot,
La condition nécessaire et suffisante est que $n^{2}=n$.
Maintenant, à mon tour de vous poser une petite énigme de mon cru :
Il s'agit de trouver une valeur de $m$ telle que $\overline{121}$ et $\overline{210}$ seront deux idempotents de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.
Un indice : Je me suis arrangée pour que ce soit facile à trouver.
:-) -
C'est en effet une condition suffisante, mais absolument pas nécessaire, comme le montre l'exemple que tu as toi-même donné de la classe de $3$ modulo $6$ !
-
C'est effectivement facile : $\overline{121}$ et $\overline{210}$ sont deux idempotents de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (j'ai hésité à écrire $\Z/1\Z$).
-
@ Poirot :
Je ne comprends pas. On a bien :
D'une part, si $3^{2}\equiv 3$ $(mod$ $6)$ alors $\overline{3}$ est un idempotent de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$.
D'autre part, s'il est dit que $\overline{3}$ est un idempotent de $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, on peut en conclure sans calculer que $3^{2}\equiv 3$ $(mod$ $6)$
Non ?
@ GaZoBuMeu :
Tu as raison. J'aurais dû préciser ceci : $121$ et $210$ sont les plus petits représentants de leur classe de congruence respective. -
@Gill Bill :
C'est juste que tu ne fais pas assez attention à ce que tu écris : si $n$ est un entier, $n^2 = n$ ne veut absolument pas dire la même chose que $n^2\equiv n \pmod{m}$.
De même pour ta question, tu aurais dû la formuler : trouver un entier $m>210$ tel que les classes modulo $m$ de $121$ et $210$ soient des idempotents de $\Z/m\Z$.
Réponse : il suffit de trouver un diviseur commun de $121\times 120$ et $210\times 209$ plus grand que $210$. -
Comme l'a expliqué GBZM, tu confondais $n$ et $\overline{n}$. De plus, même si tu pensais à $\overline{n}$ au lieu de $n$, je n'attendais pas vraiment que tu répondes la définition comme condition nécessaire et suffisante...!
-
Je comprends vos réactions mais précise que, malgré vos doutes éventuels, je sais faire la différence entre nombres et classes de congruences.
En fait, pour répondre en vitesse à Poirot, j'ai utilisé la notation trouvée sur la page Wikipédia "idempotence" , où il est écrit : "Un élément $a$ d'un magma est dit idempotent si $a^{2}=a$.
Cela dit, je ne comprends toujours pas ce que Poirot attend de moi. Je revenais juste pour ajouter le mot "positifs" à mon message précédent : Il faut lire : 121 et 210 sont les plus petits représentants positifs de leur classe de congruence respective. -
Ben non, dans ce que tu écris tu ne fais pas la différence entre l'entier $n$ et sa classe dans $\Z/m\Z$. Relis ce que tu as écrit !
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"Relis ce que tu as écrit !"
Où ? -
Poirot a écrit:Es-tu maintenant capable de donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que sa classe modulo $m$ soit un idempotent de $\Z/m\Z$ ?réponse de Gill Bill a écrit:La condition nécessaire et suffisante est que $n^2=n$.
Mais bien sûr, ce que tu écris ne veut pas du tout dire que $n$ est un élément de $\Z/m\Z$ !!Gill Bill, plus loin a écrit:En fait, pour répondre en vitesse à Poirot, j'ai utilisé la notation trouvée sur la page Wikipédia "idempotence" , où il est écrit : "Un élément $a$ d'un magma est dit idempotent si $a^2=a$. -
C'est pour ça que je parle de sa classe modulo $m$, qui est bien un élément de $\mathbb Z/m \mathbb Z$ par définition...
-
Je me suis déjà expliquée là-dessus :
J'ai l'habitude, dans l'anneau $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, de symboliser un représentant d'une classe de congruence par une lettre minuscule, par exemple $a$, et la classe de congruence modulo $m$ elle-même par $\overline{a}$. J'espère ne pas contrevenir aux règles d'écriture en vigueur.
Mais, cette fois, bien que j'aie trouvé la notation de Wikipédia différente de la mienne, je l'ai utilisée, car plus rapide (inutile de chipoter avec LaTeX). Voilà, c'est tout.
Ne reste plus maintenant qu'à trouver la réponse à la question dont GaZoBuMeu a aimablement retravaillé l'écriture :
Trouver - en deux temps et trois mouvements (ça, c'est de moi) - un entier $m>210$ tel que les classes modulo $m$ de $121$ et $210$ soient des idempotents de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.
Indice : L'idée c'est de vérifier une simple chose, et pas se lancer dans des calculs hasardeux. -
Mais tu m'as donné la définition alors que je te proposais de chercher une CNS relativement agréable à manipuler.
-
Tes explications ne tiennent pas, mais passons, inutile de poursuivre une discussion inutile.
Pour ce qui est de ta question, j'y ai déjà répondu à l'encre sympathique dans ce message, en utilisant une caractérisation qui pourrait être une réponse à la question de Poirot. -
Cela veut dire que pour les anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ concernés, il faut et il suffit que $n$ divise $121^2-121$ et $210^2-210$
(je ne fais que réécrire ce qui a déjà été écrit par GBZM)
Il y a donc un nombre fini de $n$ qui conviennent. -
Finalement, laissez tomber, les garçons.
Je n'ai plus envie de jouer aux devinettes, où les réponses sont écrites à l'encre sympathique.
A une autre fois.
Merci quand même. -
Je vais probablement rester dans l'ignorance de ce que Poirot ne veut pas me dire clairement. C'est dommage.\\
\\\
Cela dit, pour ne pas vous laisser en plan, je vais vous donner quand même ma solution au problème posé. C'est la moindre des politesses. Mais je vais le faire dans le langage mathématique qui est le mien. Je ne vois d'ailleurs pas comment je pourrais faire autrement. Quelques mathématiciens accommodants auront peut-être ici la gentillesse de traduire en langage mathématique correct. Pour cela, je vais prendre un exemple, même si je sais que c'est une très mauvaise méthode.
Dans $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$, les idempotents sont : $\overline{0}$, $\overline{1}$, $\overline{16}$, $\overline{21}$, $\overline{25}$, $\overline{36}$, $\overline{40}$ et $\overline{45}$.
Si on les apparie par couples de la façon suivante : $(\overline{0}$,$\overline{1})$ $(\overline{21}$,$\overline{40})$ $(\overline{16}$,$\overline{45})$ $(\overline{25}$,$\overline{36})$, on calcule que :
- le produit des deux éléments d'un couple est congru à $0$ modulo $60$.
- la somme des deux éléments d'un couple est congrue à $1$ modulo $60$.
Ces couples, on les appelle les "idempotents orthogonaux" sur la page Wikipédia anglaise ("... are called orthogonal idempotents.")
En d'autres termes, dans chacun des couples autres que le couple $(\overline{0}$,$\overline{1})$, on a :
Le plus petit représentant positif du premier idempotent + le plus petit représentant positif du second idempotent = 61, soit 60 + 1.
Par exemple, $21+40=60+1$. Et donc, $21+40-1=60$.
C'est un phénomène général, pas seulement lié à $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$, sinon cela n'aurait aucun intérêt.
Donc, pour en venir précisément à l'énigme posée, si on ne sait pas par quel bout la prendre, pourquoi ne pas essayer l'idée des idempotents orthogonaux ? Si $\overline{121}$ et $\overline{210}$ sont des idempotents orthogonaux, alors $m=121+210-1=330$.
Il ne reste plus qu'à vérifier si $\overline{121}$ et $\overline{210}$ sont des idempotents de $\mathbb{Z}/330\mathbb{Z}$.
C'est bien le cas.
$m=330$ est donc une solution trouvée en un tournemain.
GaZoBuMeu ayant écrit sa réponse à l'encre sympathique, on ne saura jamais si c'était la même.
Maintenant, on peut s'interroger sur l'ensemble des solutions possibles, comme l'a esquissé par Fin de partie. Je n'y ai pas réfléchi, ayant inventé le problème juste hier matin. -
GBZM ne se moquait pas de toi, sa réponse est écrite en blanc dans son message, et il suffit de le surligner à la souris pour pouvoir le lire.
Ta solution est complètement tirée par les cheveux. On était censé deviner que tu avais cette notion d'idempotents orthogonaux derrière la tête alors que tu en étais à te demander la nature d'un élément de l'anneau $\mathbb Z/m \mathbb Z$ ?
Pour la CNS dont je parlais, et que FDP (et aussi GBZM en blanc) ont quasiment donné il s'agissait de :
Soient $m, n \in \mathbb Z$. Pour que $\overline{n}$ soit un idempotent de $\mathbb Z/m \mathbb Z$, il faut et il suffit que $m$ divise $n^2-n=n(n-1)$. -
Pour lire la réponse de GaBuZoMeu « à l'encre sympathique », il suffit de la sélectionner à la souris.
C'est vrai que les idempotents vont deux par deux et c'est très général : si $e^2=e$, alors $(1-e)^2=(1-e)$ (au passage, voici un exemple de propriété qui implique sa réciproque). Cela donne ta remarque mais elle n'aide pas la recherche des idempotents de $\Z/m\Z$ pour $m$ donné.
Pour cela, il faudra certainement faire intervenir la factorisation de $m$ et le lemme chinois. -
Puisque Gil Bill nous a posé un exercice, je la remercie en lui en posant un en retour, du même acabit :
Quel est le plus grand entier $m$ tel que les classes de $540$ et de $441$ dans $\Z/m\Z$ soient des idempotents ? -
Merci, Poirot, pour le renseignement. Je vais réfléchir un peu à cette intéressante condition nécessaire et suffisante.
Non, pas d'accord. Ma solution n'est pas tirée par les cheveux. Quand on est face à un problème mathématique, on doit pouvoir tirer parti de tous les outils dont on dispose. Les idempotents orthogonaux faisaient partie de l'arsenal. Vous auriez pu les utiliser. Je précise que je n'ai découvert l'existence de l'expression "idempotents orthogonaux" que hier matin, même si je les manipule depuis plus longtemps.
Math Coss, pour calculer les idempotents de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$, j'ai plusieurs méthodes. La plus paresseuse est la suivante (je vais encore utiliser un exemple) : soit calculer les idempotents de $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$.
1) je calcule les diviseurs de 60 et les répartis comme dans le tableau suivant :
1 - 60
2 - 30
3 - 20
4 - 15
5 - 12
6 - 10
2) je ne sélectionne que les couples dont les deux éléments sont premiers entre eux, à savoir :
1 - 60
3 - 20
4 - 15
5 - 12
3) enfin, pour tout élément $a$ de ce dernier tableau, je demande à Wolfram Alpha de calculer : $a^{\phi(60)}$ $(mod$ $60)$. La réponse obtenue est le plus petit représentant positif d'un idempotent de $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$. Comme je peux être paresseuse, parfois ! (Cela dit, j'ai quand même ramé pour trouver la démonstration).
GaZoBuMeu, les classes de 540 et 441 sont des idempotents de $\mathbb{Z}/980\mathbb{Z}$. Mais ce n'est sans doute pas la solution attendue. Vu que je ne m'intéresse à ce genre de problème que depuis hier, j'avoue être prise un peu de court et ne pas connaître la solution.
J'hésite entre demander l'avis du public ou faire appel à un ami (Poirot ou Math Coss). -
Pour la recherche systématique des idempotents, ce serait bien d'avoir une méthode sans machine et sans énumération explicite de tous les diviseurs pour un nombre comme $m=60$ ou $m=360$ ou $m=3600$.
Pour la question de GaBuZoMeu, comme l'a dit l'ami Poirot, tu cherches $m$ tel que, pour $n=540$ et pour $n=441$, on ait : $n^2\equiv n\ [m]$, c'est-à-dire $m$ qui divise $n(n-1)$ pour $n=540$ et $n=441$. -
Autre petite question : est-ce que $\Z/3600\Z$ a plus ou moins d'idempotents que $\Z/60\Z$ ?
-
Gill Bill a écrit:La réponse obtenue est le plus petit représentant positif d'un idempotent
Puisque $1^2-1=0$ alors la classe de $1$ modulo $m$ un entier>1 est la classe d'un idempotent.
PS:
Pour information, si $a$ est premier avec $m$ alors $a^{\varphi(m)}-1$ est divisible par $m$.
C'est à dire que si $a$ est premier avec $m$ alors la classe de $a^{\varphi(m)}$ modulo $m$ est celle de $1$.
PS2:
Sans déterminer les idempotents de $\mathbb{Z}/60\mathbb{Z}$ on peut en connaitre le nombre puisque:
$60=5\times 3\times 4$. C'est un peu plus difficile pour $\mathbb{Z}/3600\mathbb{Z}$ -
$m=97020$. C'est mon dernier mot. Ding dong !
-
Je ne suis pas sûr que FdP ait bien suivi, alors je lui explique.
Soit $m$ un entier naturel au moins égal à $2$. Soit $a$ un diviseur de $m$ tel que $a$ et $a/m$ soient premiers entre eux. Alors, les Chinois nous disent que
$$\Z/m\Z \simeq \Z/a\Z\times \Z/(m/a)\Z\;.$$
La classe de $a$ modulo $a$ est nulle, la classe de $a$ modulo $m/a$ est inversible. Donc la classe de $a^{\varphi(m)}$ modulo $a$ est nulle, et la classe de $a^{\varphi(m)}$ modulo $m/a$ est égale à la classe de $1$ (car $\varphi(m)=\varphi(a)\times \varphi(m/a)$ - coquille corrigée, $m/a$ au lieu bien sûr de $a/m$).
On conclut que la classe de $a^{\varphi(m)}$ est un idempotent modulo $m$.
Tout idempotent de $\Z/m\Z$ s'obtient ainsi. -
Par ailleurs,
Soient $m,n$ deux entiers naturels non nuls et $m>1$
si $a^2-a$ est divisible par $m^{n+1}$ alors $a^2-a$ est divisible par $m^n$.
Ce qui fait que, sauf erreur, on peut s'attendre à ce que le nombre d'idempotents de $\mathbb{Z}/m^{n}\mathbb{Z}$ est au moins égal au nombre d'idempotents de $\mathbb{Z}/m^{n+1}\mathbb{Z}$
PS:
Je suis d'accord que ce n'est pas une démonstration complète. -
GaBuZoMeu:
Je répondais à cette histoire de classe qui soit un idempotent avec le plus petit représentant positif.
$1$ répond à cette question si on considère $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ avec $m>1$
et le théorème d'Euler est un cas particulier, semble-t-il, de cette formule que je ne connaissais pas.
Mais on n'a pas besoin de ce résultat pour savoir que $\overline{1}$ est toujours la classe d'un idempotent. -
GBZM:
Ce que je voulais dire est que dans le cas de $m=60$ je sais compter de tête le nombre d'idempotents mais dans le cas $m=3600$ je ne m'avance pas à prétendre que je vais te le donner sans poser de calculs. -
Pas besoin de poser de calcul pour réaliser qu'il y a exactement autant d'idempotents modulo $m^p$ que d'idempotents modulo $m$, ceci pour tout entier $p>0$.
-
C'est ce dont je viens de me rendre compte.
En effet,
Si $m^2-m=m(m-1)$ ,avec $0< m<p^n$, est divisible par $p^n$ ($p$ premier et $n>1$)
cela implique que $m=1$ puisque $m$ et $m-1$ sont premiers entre eux.
Conclusion:
Si $m=p_1^{\alpha_1}\times...\times p_n^{\alpha_n}$ est la décomposition en facteurs premiers de $m$ alors le nombre d'idempotents de $\mathbb{Z}/m \mathbb{Z}$ est $2^n$
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