Nombres p-adiques positifs

Quelle est l'adhérence de $\mathbb N$ dans $\mathbb Q_p$ ?

Oui. Si $c_k$ est une suite d'entiers alors elle est de Cauchy dans $\mathbf{Z}_p$ ssi $\forall n$, $c_k \bmod p^n$ converge.

Ainsi $\mathbf{Z}_p=\varprojlim\mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}$ est l'ensemble des suites $a = (a_1,a_2,a_3,\ldots), a_n \in \mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z}, a_n \equiv a_m \bmod p^m$ si $ m \le n$,
muni de la valeur absolue $|a|_p = q^{-n}$ si $a_{n} \not\equiv 0 \bmod p^n, a_{n+1} \equiv 0 \bmod p^{n+1}$, ce qui permet d'écrire $a = \sum_{n \ge 1} b_n p^{n-1},b_n = \frac{a_{n}-a_{n-1}}{p^{n-1}}$.
Enfin $\mathbf{Q}_p = \mathbf{Z}_p[p^{-1}],\mathbf{Z}_p^\times = \{a \in \mathbf{Z}_p, |a|_p = 1\}, \mathbf{Q}_p^\times=p^\mathbb{Z}\mathbf{Z}_p^\times$.