Équation de degré 3

Ou bien, écris cela comme début d'un cube, mais en partant des termes de bas degré : $216+72y-3y^3=0$ équivaut à $(6+2y/3)^3+...=0$ et cela te donne un changement affine amenant à la forme attendue. Cela dit, comme le dit Poirot, on cherche plutôt en général à parvenir une forme sans terme carré, pour mettre en \oe uvre la méthode de Cardan ou la méthode trigonométrique.

Cordialement, j__j

Nota bene : on est censé obtenir, et non pas sensé.

Un tel changement de variable ne te fera pas nécessairement apparaître un terme de degré $2$. Il se trouve que si c'est le cas, tu te ramènes à une équation de la forme $z^3-d=0$, qui admet pour racines les $\zeta_3^j d^{1/3}$ où $\zeta_3$ est une racine primitive $3$-ième de l'unité, avec $0 \leq j \leq 2$. En inversant ton changement de variable (affine), tu te retrouves pour tes racines initiales avec des racines de la forme $a\zeta_3^j d^{1/3} + b$, avec $a \in \mathbb R^*$ et $b \in \mathbb R$. Toutes les équations de degré $3$ n'admettent pas forcément de racines de cette forme.

En te débarrassant du terme de degré $2$, tu fais bouger le terme de degré $1$. Si tu as de la chance, tu parviens à annuler les deux avec une même transformation (affine) de ta variable, mais en général c'est impossible. Le raisonnement est similaire si tu veux supprimer le terme de degré $1$, tu feras bouger de la même manière le terme de degré $2$.