Trinôme dédoublé

Piteux_gore · September 2017

Bonjour,

Soit le trinôme ax² + 2bx + c ayant deux racines réelles u, v.
Que dire du signe de P(x', x'') = ax'x'' + b(x' + x'') + c selon les positions de x', x'' par rapport à u et v ?

Même question pour Q(x', x'', x''') = ax'x''x''' + b(x' + x'' + x''') + c(x'x'' + x''x''' + x'''x') + d ?

A+

GaBuZoMeu · September 2017

Soit
$$P=\prod_{i=1}^n(x-u_i)\;.$$
Tu lui associes le polynôme
$$\tilde P(x_1,\ldots x_n)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \prod_{i=1}^n (x_i-u_{\sigma(i)})\;,$$
c'est ça ?
Pour le cas du second degré, ça correspond à ce que tu écris. Pour le troisième degré, ce que tu écris est trop flou.

GaBuZoMeu · September 2017

Bon, Piteux_gore a l'air de s'être complètement désintéressé de son trinôme dédoublé.

Un petit ajout, peut-être en rapport avec sa question initiale :
Soit $P$ un polynôme de degré $n$ scindé sur $\R$, de racines $u_1<u_2<\ldots<u_n$. Alors, parmi les $(n+1)^n$ régions de $\R^n$ délimitées par les hyperplans $x_i=u_j$, il y en a $2^n+n-1$ où le polynôme $\tilde P(x_1,\ldots, x_n)$ garde un signe constant que l'on peut expliciter. (Pour le degré $2$, $5$ régions sur les $9$).

Piteux_gore · September 2017

RE

Je ne m'en suis pas désintéressé, mais je n'ai hélas pas toujours le temps de suivre comme il faudrait toutes les questions que je me pose.

Pour le degré 2, si le trinôme a pour racines u < v, alors sauf erreur de ma part le trinôme dédoublé est :
-- positif si x' et x'' < u ou > v
-- positif si x' < u < x'' < v ou u < x' < v < x''
-- négatif si x' < u < v < x'' ou u < x' < x'' < v.

Ai-je épuisé tous les cas ?

A+

GaBuZoMeu · September 2017

Tu n'as pas épuisé tous les cas et tu en as cité des qui n'ont pas à figurer.

Trinôme dédoublé

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