Espace vectoriel

Que penses-tu de la fonction $f+g$ où $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $x\mapsto x-2$ et $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $x\mapsto x-6$ ?

C'est toute la différence entre "ou" et "et" justement.
La fonction $x\mapsto x-2$ est nulle en $2$ ou en $6$ ; elle n'est pas nulle en $2$ et en $6$.

Bonjour,

Ben si, $g\in F$.

Cordialement,

Rescassol

" Le premier est donc un SEV, et le second n'en est pas un." ??? de quoi parles-tu ? Il n'y avait avant cette phrase aucun sous ensemble de l'ensemble des fonctions numériques définies sur $\mathbb R$ (qui, muni des opérations classiques, est un espace vectoriel). Seulement deux bêtes fonctions.

Tu ferais bien de reprendre ta démonstration, en t'assurant que tes affirmations sont vraies.

Cordialement.

@Tankario : oublie les SEV pour le moment, le problème n'est pas là. Considère les 3 fonctions f, g et f+g et pour chacune d'entre elles réponds simplement par oui ou non aux questions suivantes :
- la fonction s'annule-t-elle en 2 ?
- la fonction s'annule-t-elle en 6 ?
- la fonction s'annule-t-elle en 2 ou en 6 ?
- la fonction s'annule-t-elle en 2 et en 6 ?

Une fois que ce point sera plus clair pour toi, on pourra réfléchir aux SEV.

Tu es sûr de ta toute dernière réponse ?

Bon, maintenant tu peux reprendre calmement l'exercice.

@Tankario.
Quand tu formuleras un argument construit, je pourrai te dire si ça va ou pas (et vraisemblablement, si tu fais l'effort de réfléchir posément de rédiger soigneusement ton argument, je serai d'accord à de petits détails près).

Ok, cela progresse dans la bonne direction. Quelques commentaires :
- une remarque générale : l'idée de montrer que F et G sont ou non des SEV est la bonne, encore faut-il préciser l'EV en question et vérifier l'inclusion de F et G dans cet EV.
- je ne comprends pas ta rédaction de $0 \in F$. La fonction nulle s'annule en 2 donc $0 \in F$.
- je ne suis pas fan (c'est le moins qu'on puisse dire) de la notation $f(x) = x - 2 \in F$. Je sais qu'on l'écrit de plus en plus souvent comme cela dans le secondaire mais c'est source d'imprécisions et d'erreurs. Compare avec la définition donnée par Rescassol.
- tu exhibes un contre-exemple, tu le construis comme bon te semble, tu peux choisir $\lambda = 1$ pour te simplifier la vie. Pour rédiger proprement tu pourrais dire "Supposons que F soit un SEV de E alors $\forall f, g \in F\times F (f+g) \in F$. Choisissons $f... \in F$ et $g... \in F$, on remarque que $(f+g) \notin F$ ce qui nous mène à une contradiction. Donc F n'est pas en SEV de E."

Remets au propre et passe au cas de G (tu devrais désormais saisir la nuance).

@Tankario : tu régresses par rapport à ton premier message.

- Soient $f$ et $g$ appartenant à $G$ et $\mu$ appartenant à $\R$. (Objectif : Montrer que $\mu f + g$ appartient à $G$)

Espérons que c'est pour rebondir plus haut.

Tes fonctions $f$ et $g$ ne s'annulent pas en $2$ et en $6$ !

Tu viens de montrer que tout sous-ensemble de $\mathbb R^{\mathbb R}$ qui contient la fonction nulle est un sous-espace vectoriel. C'est bien entendu complètement faux. Il faut que tu prouves que $\lambda f +g \in G$ pour tout $f, g \in G$ (et tout $\lambda \in \mathbb R$).

Je ne comprends pas ce que tu dis dans ton dernier message. Tu as montré que $\lambda f +g \in G$ pour $f=g=0$, mais il faut que tu prouves ceci pour $f$ et $g$ quelconques dans $G$... Et comme je l'ai dit précédemment, le résultat de ton cours sur l'intersection de sous-espaces vectoriels pourrait t'aider à conclure très rapidement sinon !