Deux suites presque égales
Bonjour,
On se donne les deux suites, pour $n\ge 2$, $a_n=\lceil n/\pi \rceil$ et $b_n=\lceil 1/\sin\left(\pi/n\right)\rceil$ où $\lceil .\rceil$ est la partie entière par excès. En calculant les premier termes des deux suites on trouve
$$a_n : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5$$
$$b_n: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5$$
Les deux suites se distinguent seulement quand $n=3$. Existe-t-il d'autres $n$ pour lesquels les deux suites ne sont pas égales?
On se donne les deux suites, pour $n\ge 2$, $a_n=\lceil n/\pi \rceil$ et $b_n=\lceil 1/\sin\left(\pi/n\right)\rceil$ où $\lceil .\rceil$ est la partie entière par excès. En calculant les premier termes des deux suites on trouve
$$a_n : 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5$$
$$b_n: 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5$$
Les deux suites se distinguent seulement quand $n=3$. Existe-t-il d'autres $n$ pour lesquels les deux suites ne sont pas égales?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
$$\left\lceil\frac1{\sin\left(\frac{\pi}{245850922}\right)}\right\rceil=78256780\qquad\text{ et }\qquad \left\lceil \frac{245850922}{\pi}\right\rceil= 78256779\;.$$
PS. En dehors de n=3, ça foire pour n = 80143857, 245850922,1068966896, 6167950454, 21053343141, 3587785776203, 8958937768937, 428224593349304, 6134899525417045,
66627445592888887, 2646693125139304345, 265099323460521503743, 1850401877973371917511,
37535589513263342053361, ...
Tout d'abord, on montre que, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$
$$0 \leqslant \frac{1}{\sin(\pi/n)} - \frac{n}{\pi} < \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \right).$$
Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$
$$b_n-a_n = \left \lceil \frac{1}{\sin(\pi/n)} \right \rceil - \left \lceil \frac{n}{\pi} \right \rceil = \left \lfloor \frac{1}{\sin(\pi/n)} \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{\pi} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{\pi} + \delta_n \right \rfloor - \left \lfloor \frac{n}{\pi} \right \rfloor$$
où, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$
$$0 \leqslant \delta_n < \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \right) \leqslant \frac{4}{3 \pi} < \frac{1}{2}.$$
La différence des parties entières est donc égale à $0$ ou $1$ et, plus précisément
$$b_n - a_n = 1 \Longleftrightarrow \left \{ \frac{n}{\pi} \right \} \geqslant 1 - \delta_n \quad \left( n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2} \right)$$
où $\{ x\} := x - \lfloor x \rfloor$ désigne la partie fractionnaire du réel $x$. De plus, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$
$$\left \{ \frac{n}{\pi} \right \} < 1 - \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n+1} \right) \Longrightarrow a_n = b_n.$$
$\,$
Edit: cf le post suivant de GaBuZoMeu. Il faut faire passer un nombre entier $m$ entre les deux nombres $n/\pi$ et $1/\sin(\pi/n)$, ce qui revient à encadrer $\pi$ par $ \frac n m$ et grosso modo $ \frac n m+ \frac {\pi^2}{6nm}$.