Suite de Fibonacci et somme téléscopique

bluepix · September 2017

Bonjour !

Je sollicite votre aide car je suis face à un problème que je ne parviens pas à résoudre.
La suite $(a_{n})$ définie pour tout n dans N désigne la suite de Fibonacci.
On a $a_{0} = 0$
$a_{1} = 1$
$a_{2} = 1$
$a_{3} = 2$
$a_{4} =3$
et de manière générale $a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n}$

J'ai déjà montré par une récurrence que $\sum_{k=0}^{n}a_{k}^{2} = a_{n}a_{n+1}$ et on me demande de le montrer en faisant apparaître une somme télescopique. Seulement je ne sais pas du tout comment procéder ...
Merci beaucoup à ceux qui pourront me donner une piste ! (:P)

GaBuZoMeu · September 2017

Pour la démonstration par récurrence, n'as-tu pas utilisé $a_{n+1}^2=a_{n+1}a_{n+2}-a_na_{n+1}$ ?

bluepix · September 2017

Hum si effectivement . Mais en fait je ne comprend pas comment faire apparaître la somme télescopique :-S

Poirot · September 2017

Ne vois-tu pas un télescopage en posant $b_n = a_na_{n+1}$ ?

GaBuZoMeu · September 2017

Curieux que tu ne voies pas ...
Que se passe-t-il si tu sommes les égalités $a_{k+1}^2=a_{k+1}a_{k+2}-a_ka_{k+1}$ ?

bluepix · September 2017

Alors je reprends j'ai :

$\sum_{k=0}^{n}a_{k}^{2} = \sum_{k=-1}^{n-1}a_{k+1}^{2}= \sum_{k=-1}^{n-1}a_{k+1}a_{k+2}-a_{k}a_{k+1} = \sum_{k=-1}^{n-1}b_{k+1}-b_{k} = b_{n}-b_{-1}$

en posant $b_{n} = a_{n}a_{n+1}$

Mais la je ne comprend pas car $b_{-1}$ n'existe pas ... :-(
Merci beaucoup pour votre patience ... tous ces indices me font tourner la tête ...

Poirot · September 2017

$b_{-1}$ n'existe pas car $a_{-1}$ n'existe pas, ta transformation est inexacte ! Tu ne peux changer $a_{k}^2$ par $b_{k} - b_{k-1}$ que pour $k \geq 1$ ! Il faut mettre de côté le terme correspondant à $k=0$ puis procéder à la réécriture.

bluepix · September 2017

Ok effectivement c'est une idée que je n'ai pas eue en tant que débutant ... Merci beaucoup du coup pour vérifier j'ai bien : $\sum_{k=0}^{n}a_{k}^{2} = a_{0}+ \sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}=0+\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}a_{k+2}-a_{k}a_{k+1} = \sum_{k=0}^{n-1}b_{n}-b_{n+1}=b_{n}-b_{0} = a_{n}a_{n+1} - a_{0}a_{1} = a_{n}a_{n+1}$

GaBuZoMeu · September 2017

Quelques erreurs ou maladresses d'écriture.
1°) ce n'est pas $a_0$ mais $a_0^2$. Au final les deux valent $0$, mais les deux écritures ne disent pas la même chose.
2°) Il vaut mieux mettre des parenthèses pour bien indiquer les quantités qu'on somme.
3°) Le $\sum_{k=0}^{n-1}b_{n}-b_{n+1}$ ne va pas du tout !