Matrices semblables

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\quad\text{ et }\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} $$ ne sont pas semblables.

Bonjour
La question revient aussi à montrer qu'en dimension $n\le 6$, pour une matrice $A$ nilpotente de rang $r$ (forcément $<n$) et de polynôme minimal ( $X^d$) donnés, sa décomposition en blocs de Jordan (diagonale forcément nulle) est entièrement déterminée (à l'ordre près)

Il y a $n-r$ blocs
tous les blocs ont une dimension $\le d$, l'un au moins étant de dimension $d$

Si $n=1$ ou $d=1$ , $A$ est nulle
Si $d=n$ ou $r=n-1$ la décomposition de $A$ est constituée d'un seul bloc
si $n=2$ alors $d=1$ ou $2$ et on est dans un des cas ci-dessus

Pour les autres cas ,
$3\le n \le 6, 2\le d \le n-1, r \le n-2$

il faut chercher les dimensions $d_i$ des $n-r-1$ autres blocs que le bloc "obligé" de dimension $d$ : la somme de ces $d_i$ doit faire $n-d$ avec $1\le d_i \le d$

pour chacun des 4 cas $n-d=1,2,3,4$ on envisage les valeurs possibles de $n-r-1$ ( de $1$ à $n-d$)
et en ordonnant de façon croissante les $d_i$, à chaque fois il n'y a qu'une possibilité pour le $(n-r-1$)_uplet $(d_1,d_2,...,d_{n-r-1})$.
C'est facile, mais effectivement un peu longuet à écrire.

Avec $n=7$ on peut retrouver le contre exemple donné par oblomov :
on prend $d=3, r=4$
donc il y a $n-r=3$ blocs dont au moins un bloc de dimension $d=3$
Pour les deux autres leurs dimensions doivent vérifier

$d_1+d_2=n-d=4$ avec $1\le d_1 \le d_2 \le 3$ , ce qui donne 2 possibilités

soit $(1,3)$ donc 3 blocs de Jordan de dimensions respectives 1,3,3

soit $(2,2)$ donc 3 blocs de Jordan de dimensions respectives 2,2,3